初中几何常见的分类讨论

分类讨论是初中数学一种重要的数学思想方法和解题策略。在历届中考中，都不乏有几何分类讨论的题目出现。一进入几何图形解答，就可能受图形的局限而漏解。现就几何图形分类讨论的入手方法作一探讨：

1.找出定点确定分类

此类问题，一般由题可知动点是在直线或射线上运动的。此时分类可先在直线或射线上寻找定点，根据动点与定点的位置关系进行分类。

例1.如图，直线AB经过O的圆心，与O相交于A、B两点，点C在O上，且∠AOC=30°，点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交O于点D，则使DE=DO的点E共有几个？并求出相应的∠OED的度数。

此题中动点E所在直线的定点有点A、O、B，由此可根据点E与点A、O、B之间的位置关系作出四种分类：点E在点A的右边；点E在点A、O之间；点E在点O、B之间；点E在点B的左边。

2.找出线段等量关系确定分类

此类问题，一般由题可知线段之间的等量关系，如等腰三角形两腰相等、直角三角形勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）或是题目中直接给出等量关系。

例2.如图，在直角坐标系中，A的半径为6，点A的坐标为（-3，0），A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作A的切线BC交x轴于B。问：在x轴上是否存在点P，使PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

此题中，明确给出提示需要分类的条件是：“PBC为等腰三角形”，同时题目中却未明确两腰。因此，可根据腰的不同得到三种分类：1.PB=PC；2.PB=BC；3.PC=BC。

若要利用直角三角形勾股定理，题目一般会只交代直角三角形，而不明确直角。此时，可根据斜边的不同而分三种情况予以讨论。

3.找出角的等量关系确定分类

此类问题，最多见于有关三角形相似的题目中。其依据是三角形相似性质定理（两三角形相似，对应角相等。）。

例3.如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7， ）。若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称。在y轴上是否存在这样的点P，使AEP与FDC相似，若没有，请说明理由。

此题中，给出需要分类讨论提示的语句是：“在y轴上是否存在这样的点P，使AEP与FDC相似”。这句话没有明确三角形相似的对应角。因此，依据不同的对应角予以分类。由条件可知∠CFD=∠AFP，因此，只需分两类讨论：1.∠FCD=∠FAP；2.∠FCD=∠FPA。

当然，在这道题中，由于多了条件“∠CFD=∠AFP”，所以分类情况比较简单。若没有这一条件，一般可有六种分类。

4.根据图形本身特点确定分类。

此类题目经常出现的字眼是“……使A、B、C、D等4个点构成的四边形为……四边形”。由于题目中出现的4个点不是按顺序排列的，因此由这4个点构成的四边形可以是四边形ABCD、四边形ABDC、四边形ACBD、四边形ACDB、四边形ADBC、四边形ADCB。分类情况相当复杂。如果按照字母顺序逐一罗列，图形不易呈现。那么如何进行分类才能保证不漏解，同时图形又很容易得到？

例4.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1），点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

此题中要求得到的四边形是平行四边形，已知的点有两个，我们将已知的线段AB按照边或对角线两种情况进行分类。当AB为边时，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可以求得两解；当AB为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分的性质，也可以求出一解。这种分类方式显然要比按照字母顺序进行分类要简洁很多。如果要求得到的四边形是其他特殊四边形时，也同样可以根据特殊四边形本身所具有的图形特征进行分类。

5.找出图形间不同位置确定分类。

这一类型的分类，较常见于圆的内容中。例如，圆与点的位置关系、圆与直线的位置关系以及圆与圆的位置关系以及“相交两圆连心线垂直平分公共弦”定理运用中相交两圆圆心位于公共弦的同侧与异侧。解题时，可依据不同的位置关系予以分类讨论。

例5.已知在ABC中，AB=13，BC=12，AC=5。如图，把BA、BC看作射线，如有半径为r的Q保持与BA、BC相切，试讨论当Q与AC处于不同的位置关系时r的取值范围分别是什么？

根据题目中出现关键语“Q与AC处于不同的位置关系”，可知依据直线与圆的位置关系进行解题。但又要考虑到圆心Q位置的不确定性，所以需要分四类讨论：Q与AC相离（Q在AC的左边）；Q与AC相切（Q在AC的左边）；Q与AC相交；Q与AC相离（Q在AC的右边）；Q与AC相切（Q在AC的右边）。

综上可知，对于分类讨论题，首先应认真审查题目的特点，考虑分类的方向和分类的标准，做到既不重复又不遗漏，逐步熟练和掌握分类讨论。