对函数单调性求解策略的几点探究

摘 要：通过分析历年数学高考试卷可以发现，有关函数的考察比例一直有增无减。而对函数单调性方面内容的考察，更是屡见不鲜。有直接考查单调性的，也有通过求值域、最值等问题间接考查的。高考试题考察方式灵活多变，这就需要高中数学教师在日常教学中引导学生有针对性的、灵活运用函数单调性的定义，巧妙的运用各种方法解答函数问题。本文企望对函数单调性的判定方法进行系统性的探究，通过多例分析，探究高中函数单调性问题的求解策略。

关键词：高中数学;函数单调性;求解策略

函数的单调性是函数的重要特性，函数的思想在整个数学体系中贯穿始终。在高中数学中，常常会涉及到对函数单调性的研究，利用函数单调性可以解决很多与函数相关的问题。通过对函数的单调性的研究，有助于加深对函数知识的把握和深化，将一些实际问题转化为利用函数的单调性来处理。所以我们要熟练掌握函数单调性的知识。在此，笔者就函数单调性的求解策略进行探讨分析。

一、利用函数单调性定义解题

1.函数单调性的定义

假定函数f（x），（定义域）x有意义，任意两个自变量x1，x2在某个区间段W（W）内，并且x1> x2时，则f（x1）>f（x2），称之为f（x）在区间段W是严格单调递减的。相反，f（x1）<f（x2），称之为f（x）在区间段W是严格单调递增的。在对函数单调性的研究中，一定要对单调区间进行说明，不然就没有任何的意义。

2.利用函数单调性定义

（1）作差比较法。①设x1 ，x2是某区间S上任意两个变量，且x1<x2;②作差f（x1）-f（x2），并对其进行因式分解或配方（主要手段）;③判断f（x1）-f（x2）的符号，并得出结论。

（2）作商比较法。若>1 ，且f（x2）> 0，则f（x1） >f（x2），若>1，且f（x2）> 0，则f（x1） <f（x2）

例1：假设函数f（x）=a/x （a>0），试判断该函数的单调性，并写出其单调区间。

解：由题意可得出，f（x）的定义域为x也就是定义域为：（- ，0） U （0，+）。设在区间（- ，0）内存在x1 、x2两个任意值，x1>x2，设f（x1）-f（x2）=a/ x1Ca/x2 =a（x2Cx1）/ x1 x2，而x1 x2>0， x2 -x1<0，则f（x1）-f（x2）<0，可得出f（x1） <f（x2） ，f（x）在区间段（0，+）内严格单调递减的。同理f（x）在区间段（0，+）内是严格单调递减的。

上述两种方法的选择要结合具体的题目，这里例1运用了作差比较的方法判断函数的单调性。

二、利用函数的图象数形结合解题

在一个函数区间内如果图象从左往右看上去是一个上升的趋势，也就是说y随着x的增加而增加，那么函数在这个区间内就是单调递增的。相反，如果图象在一个区间内从左往右看上去是一个下降的趋势的话，那么函数在这个区间内就是单调递减的。

利用函数图象求解函数单调性是一种很常见的方法，数形结合也是一种很常见数学思想方法，这种方法可以简化求解步骤，让复杂的问题简单化，是求解函数单调性非常实用的方法。

例2：指出函数 f （x）=|x2-4x+3|的单调区间。

解：作出函数f （x）=|x2-4x+3|的图象，根据图象很容易得到，函数在[1，2]以及[3，+∞）上为增函数，在（-∞，1]以及[2，3]上为减函数。

如果利用图象解题，学生一定要熟悉一些常见函数的图象。

三、复合函数单调性判别法

对于复合函数y =f（g（x）），令u=g（x），则y=f（u），这里的u是中间变量，u=g（x）中u是x的函数，y=f（u）中y是u的函数，复合函数的单调性依赖于其两个分支的单调性。

判断复合函数的单调性可以遵循相应的法则，如果复合函数的内、外函数，即g（x）和f（u）的单调性是一致的话，那么复合函数就是单调递增的，如果g（x）和f（u）的单调性不一致，那么复合函数就是单调递减的。所以如果要研究符合函数的单调性，只需要把符合函数进行分解，看它内、外函数，即g（x）和f（u）的单调情况。复合函数的内外函数都是基础的函数，它们的单调性都比较容易判断，判断出它们的单调性之后，再利用符合函数单调性的法则，就可以得到复合函数的单调性。

熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对数函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。

例2：指出函数 f （x）=|x2-4x+3|的单调区间。

解：当x2-4x+3≥ 0，得1≤x≤3，函数y = x2-4x+3=（x-2）2-1

当x2-4x+3

即y=

函数在[1，2]以及[3，+∞）上为增函数，在（-∞，1]以及[2，3]上为减函数。

这里选用了图像数形结合法中同一道题目，采用不同的方法确定函数在不同区间上的增减性。值得注意的是：①判别复合函数单调性时，首先必须把该函数分解为两个甚至多个分支;②求复合函数的单调区间时，一定要注意其定义域，不能孤立地去考察每个分支。

四、导数判别法

设函数Y =f（x）是可导函数，xI.

（1）x （a，b），若f'（x） > 0，则函数f（x）在（a，b）内是增函数;若f'（x） < 0，则f（x）在（a，b）内是减函数。

（2）对于函数单调性的导数法判定，应注意明确以下两点：

①判别法的依据是导数的几何意义;

②在（a，b）内f（x）>0，f'（x）<0是使f（x）在（a，b）的上单调递增或单调递减的充分条件，而非必要条件，故称导数充分判别法。例如，f（x）=x3+3在R上递增，并不要求f（x）在R上f'（x）>0。

导数法对于解决分式函数，高次函数的单调性问题是非常有用的。

例3：已知函数y=x2-x3+ 5，试判断这个函数的单调性。

解：我们可以对这个函数求导y' =2x-3x2 =x（2-3x）。让y'=0 求出相应的x值，x1 =0，x2=2/3。y'>0时，也就是在x（0，2/3）时，函数是单调递增的，y'<0时，也就是在x（-∞，0），x（2/3，+∞）时，函数是单调递减的。

总之，对于函数的单调性问题有很多的解决方法，以上介绍了四种常用的高中数学函数单调性求解策略。到底选择哪种方法最合适，还是要结合题目的具体内容。同时，在遇到此类问题的时候最好不要先选择用定义去解答，因为用定义解答往往比较烦琐，可以优先选择用函数的图象去解决，对于复合函数，则可以选择用复合法则来解决。高中数学教师在教学实施过程中，应把这些方法渗透在日常的教学过程中，引起学生对函数这一重点知识的学习兴趣，使学生能够灵活、熟练地掌握这些方法，养成技巧性解答函数问题的习惯。

参考文献：

[1]李先源.函数单调性的求解策略[J].数理化学习，2015（8）.

[2]王赘哲.对函数单调性判定方法的几点探究[J].数理化解题研究（高中版），2014（2）.

[3]陈青山.高中数学函数单调性解题方法的研究思考[J].语数外学习，2013，4.