数学实验在计算方法课程建设中的应用

文章编号：1672-5913(2008)10-0067-02

摘要：本文论述了在计算方法课程建设中，应用数学实验手段进行课程的教学改革，使学生更好地了解计算方法各种数值算法的背景、概念和设计，提高他们的探究和自学能力。

关键词：计算方法；课程建设；数学实验

中图分类号：G642

文献标识码：B

计算方法是以数学理论为基础，以计算机为计算工具，研究在计算机上解决数学问题的方法，是与计算机发展密切相关的一门课程。随着计算机硬件性能的不断升级和软件工具的不断更新以及计算应用的日益普及和深入，促使计算方法课程的教学内容和教学方法也需要“与时俱进”的进行调整和改革。

数学实验是将实际问题通过数学的理论和方法转化为数学模型，并进而使用理论分析或科学汁算的手段解决问题的过程。近年来，随着素质教育改革的深入和汁算机应用的普及，继数学建模课得到普遍开设之后，数学实验课程升设成为大学数学教学改革的―个探索方向。

在计算方法课程建设中，需重视数学实验，根据教学内容的特点，充分运用数学实验手段，从而培养学生探究能力。本文就应用数学实验思想改革计算方法课程提几点建议。

1运用数学实验帮助学生了解算法背景

目前的计算方法课程，一般是根据数学问题的不同而分门别类的介绍各种数学问题的数值解法。对于各种数值方法，按照严密的逻辑体系，从方法的数学推导过程、几何意义、计算公式和收敛情况、误差分析及应用例题循序渐进的逐一讨论。在学生眼里，计算方法就是教材中用抽象的数学符号表示的计算公式和收敛定理的证明，其应用就是计算在数学分析和高等代数等课程中的数学题目，这样一来计算方法的来源和背景在教学过程中很容易被掩盖。但是，借助于数学实验手段对实际问题在计算机上进行编程、模拟、数据分析，可以了解数值算法的工程背景，提高学习数学的积极性，从而能够更好地设计算法。

例如，运行数学软件matlab程序

figure

set(gcf,'menubar','none')

axes('position',[0 0 1 1])

[x,y]=ginput

然后将你的手直接放在弹出窗口中，用鼠标点击选取需要的插值点，最后回车得到所有插值点的坐标。但是怎样才能根据几个坐标在屏幕上“显现”出你的手呢？如果学过计算方法中插值的知识，通过这个例子可以了解到插值的工程背景，分析该问题，可用构造“参数曲线”的方法，即在参数区间上选取 个插值点，然后用三次样条插值构造逼近函数在 个点上的值，最后以这 个点作出图形。如下图所示。

上例中，从模拟人手的形状进行探索试验，通过对少量数据的分析，找出更多数据的求值方法，从而确定各种数值方法所适应的问题背景，这整个过程便是应用了数学实验的思想，可见数学实验也是培养学生探索能力的有力载体。数学实验具有直观性、操作性、反复性、探索性等特点，在数学知识的发生、发展过程中。在实际问题的解决过程中，恰当运用数学实验手段，可以使学生直接地观测、亲自动手操作、深入思考分析、反复探索研究。因此在计算方法课程的教学过程中，充分重视数学实验，学生探索能力自然会得到不断提升．

2运用数学实验帮助学生形成算法概念

解决数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维，但有些问题按照这样的思维方式求解。往往打不开思维，形成不了思路，借助于数学实验手段对问题进行探究，能帮助我们越过或绕过问题的障碍，克服思维上的困难，逐步形成解决问题的新思路、新途径。

在计算方法课程的众多算法中，许多概念或知识都来源于工程、经济领域。可以通过数学实验帮助引导学生从现实经验中抽象出数值算法的概念和过程，可通过实验对各种算法进行探索、比较，然后将得到的结论归纳整理成一个有意义的整体，继而对算法的思想产生顿悟、理解，逐步形成新的概念或新的知识．

例如，计算方法的截断误差是数值计算中误差的重要来源，然而不是唯一的！学生对这个概念理解起来还是有些困难的，但是如果在实验中确定已将 取道足够小的话，特别在高阶导数的计算中，就会发现当 小到一定程度之后，数值计算结果的误差不但不再减小，反而会变大！(见下图)事实上，当步长 过小时，计算结果的误差变大就是由于舍入误差的缘故。利用这一生动直观的实验展开探索，使学生对“截断误差”的概念以及它与舍入误差的关系有了一个感性上较为明确的认识，同时也增强了学生主动探索问题的能力．

可见，在课程的教学过程中，借助数学实验手段积极引导学生运用数学模型、数学软件，大胆的去编程、试验、探讨，使数学的学习成为一种主动的探究过程。

3运用数学实验帮助学生更好地设计算法

应用计算机解决科学技术中的具体问题时，首先要将具体问题抽象为数学问题，即建立能描述等价代替实际问题的数学模型，其次是为该数学问题选择合适的计算方法，然后再应用程序设计语言编程或应用数学工具软件在计算机上计算并分析计算结果。在进行程序设计时，必须要先将具体的计算方法描述为算法。算法设计是程序设计的核心和关键，只要算法是正确的，由程序设计语言去实现算法就不会有太多困难。同时，用流程图表示的算法具有直观性，当由抽象的数学符号和公式表示的各种计算方法一旦描述成算法，就变成了非常直观和浅显的东西，借助算法，学生可以“看到“计算方法在计算机上是怎样实现的，能够帮助学生更深刻的理解计算方法。

虽然在程序设计语言课程中，学生已经学习了一些算法设计方法，并掌握了一些最基本、最常用的算法，但是，对多数学生来说，由于计算方法所解决问题的复杂性和专业性，将其设计为算法并不是一件容易的事。以解线性方程组的高斯主元素消去法为例，将选主元素、消元、回代的计算过程设计为算法，需要综合应用选择矩阵最大值、矩阵运算、循环、递推等基本算法。而计算方法课程如果不解决算法设计问题，那么这些数值计算方法对于学生来说仍然是“纸上谈兵”。但是，借助数学实验手段，我们可以更好地总结出不同算法之间的区别，各自的优缺点以及它们的重要性质，从而能够更好地设计出适合的数值算法。

例如，用y=x½在x=0,1,4,9,16产生5个节点P1,…P5。用几种不同的节点(如用P3,P4构造，或用P1,P2,P4,P5构造或用 构造)构造拉格朗日插值公式来计算x=5处的插值，学生通过进行数学实验，用几种不同的节点构造插值，最后得出结论当选取x=5附近的点作为插值节点时得到的数值结果较精确。

所以，通过数学实验，让学生借助特例，通过不完全归纳，自己去发现规律、提出猜想、然后再论证。在这里通过编制程序、观察分析、归纳猜想的过程。不仅是一项很有意义的“思考性实验”，更是锤炼探索能力的有效途径。

参考文献

[1] 石钟慈. 第三种科学方法－计算机时代的科学计算[M]. 北京:清华大学出版社,2000.

[2] 李志. 数学实验在大学数学教学中的应用[J]. 内江科技,2007,28(8):11.

[3] 傅勤. 浅谈培养学生的综合能力[J]. 高等工程教育研究,2002,(12):86-88.