专题三 函数与导数(6)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 二次函数[y=f（x）]的图象过原点，且它的导函数[y=f ′（x）]的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数[y=f（x）]的图象的顶点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设函数[f（x）=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ]，其中[θ∈[0，5π12]]，则导数[f ′（1）]的取值范围为（ ）

A. [[-2，2]] B. [[2，3] ]

C. [[3，2]] D. [[2，2]]

3. 已知[f（x）=logax（a>1）]的导函数是[f ′（x）]，记[A=f ′（a）]，[B=f（a+1）-f（a）]，[C=f ′（a+1）]，则（ ）

A. [A>B>C] B. [A>C>B]

C. [B>A>C] D. [C>B>A]

4. 设函数[f（x）=sin（ωx+π6）-1（ω>0）]的导函数[f ′（x）]的最大值为3，则[f（x）]图象的一条对称轴方程是（ ）

A. [x=π9] B. [x=π6]

C. [x=π3] D. [x=π2]

5. 若函数[f（x）=exsinx]，则此函数图象在点[（4，f（4））]处的切线的倾斜角为（ ）

A. [π2] B. 0

C. 钝角 D. 锐角

6. 已知[y=sinx1+cosx]，[x∈（0，π）]，当[y′=2]时，[x]等于（ ）

A. [π3] B. [2π3]

C. [π4] D. [π6]

7. 如图，函数[y=f（x）]的图象在点[P（5，f（5））]处的切线方程是[y=-x+8]，则[f（5）+f ′（5）=]（ ）

A. [12] B. 1 C. 2 D. 0

8. 若函数[f（x）]的导函数[f ′（x）=x2-4x+3]，则函数[f（x+1）]的单调递减区间是（ ）

A. （0，2） B. （1，3）

C. （-4，-2） D. （-3，-1）

9. 已知[y=tanx，x∈（0，π2）]，当[y′=2]时，[x]等于（ ）

A. [π3] B. [23π]

C. [π4] D. [π6]

10. 定义方程[f（x）=f ′（x）]的实数根[x0]叫做函数[f（x）]的“新驻点”，若函数[g（x）=x，h（x）=ln（x+1），][φ（x）=x3-1]的“新驻点”分别为[α，β，γ]，则[α，β，γ]的大小关系为（ ）

A. [α>β>γ] B. [β>α>γ]

C. [γ>α>β] D. [β>γ>α]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 曲线[y=x3]在点[（a，a3）（a≠0）]处的切线与[x]轴，直线[x=a]所围成的三角形的面积为[16]，则[a=] .

12. 已知函数[f（x）]的导数为[f ′（x）]，且满足[f（x）=3x2+2xf ′（2）]，则[f ′（5）=] .

13. 抛物线[y=x2]上点A处的切线与直线[3x-y+1=0]的夹角为45°，则点[A]的坐标是 .

14. 设函数[f（x）=cos（3x+φ）（0

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 求下列函数的导数：

（1）[y=15x5-43x3+3x2+2]；

（2）[y=（3x3-4x）（2x+1）]；

（3）[y=3xex-2x+e]；

（4）[y=lnxx2+1]；

（5）[y=xcosx-sinx]；

（6）[y=cos32x+ex]；

（7）[y=lg1-x2].

16. 设函数[y=ax3+bx2+cx+d]的图象与[y]轴交点为[P]，且曲线在[P]点处的切线方程为[12x-y-4=0]. 若函数在[x=2]处取得极值0，试确定函数的解析式.

17. 设曲线[y=e-x（x≥0）]在点[M（t，e-t）]处的切线[l]与[x]轴，[y]轴所围成的三角形面积为[S（t）].

（1）求切线[l]的方程；

（2）求[S（t）]的最大值.

18. 已知定义在正实数集上的函数[f（x）=12x2+2ax]，[g（x）=3a2lnx+b]，其中[a>0].设两曲线[y=f（x）]，[y=g（x）]有公共点，且在该点处的切线相同.

（1）用[a]表示[b]，并求[b]的最大值；

（2）求证：[f（x）≥g（x） （x>0）].