中学数学中转化思想的应用

摘要：本文从转化思想的功能、转化思想的实质、转化思想的思维模式以及中学数学中转化思想的基本形式、转化思想的特点等内容出发来阐述转化思想，力求体现转化思想在中学数学教学与解题中的作用和地位。

关键词：转化思想；数学模型；数学思想

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）07-215-01

在中学数学中，转化思想是一种重要的解题方法同时也是一种思维策略。所谓转化思想：即将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，转化为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做转化思想。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题。总而言之，转化在数学解题中几乎无处不在。转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。因此，转化思想的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。这充分体现辩证唯物主义观点。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化和非等价转化是转化思想的两大类型。但他们之间有着严格的区别，因此我们在应用的时候要注意他们的区别。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

翻开数学发展的史册，运用转化解决问题的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。这是转化问题一个很好的应用，由此我们容易归纳出转化思想方法的思维模式：客观问题数学问题数学模型得解

可见解题能力的强弱在于：1、有敏锐的洞察能力，才能找准目标模型，2、有较强的转化能力，才能有效地把问题转化为目标模型，至于运用模型的内部规律求解就比较容易了。

一、在中学数学中，常见的转化基本形式有

1、数与数之间的转化

例如计算某个算式得出数值；化简某个解析式得出结果；变形所给出的方程求解；变形所给的不等式求出解集以及函数、方程、不等式之间的互相转化等等。

2、形与形之间的转化

比如：利用图象变换的知识作出函数图象；利用分割、补形、折叠、展开，作辅助线，辅助面处理空间图形或平面图形，等等。包括把立体问题转化为平面问题。

例2.正三棱锥P-ABC中，各条棱的长都是2，E是侧棱PC的中点，D是侧棱PB上任一点，求ADE的最小周长。

分析：把空间问题转化成平面问题，是立体几何中转化思想重要应用的内容，有这样的思想作指导，我们再结合原题的图形，由于AE是定长 ，因此，只要把测名PAB-PBC展开铺平，那么当A、D、E三点共线时的AE长，即AD+DE的最小值在 中，PA=2，PE=1， = ,所以，利用余弦定理可得AE= ，于是就得到 的最小周长为 + 。

数与形之间的转化。数与形之间的转化主要是依据函数与其图象的关系；复数及其运算的几何意义；以及解析几何中曲线与方程的概念等等进行转化。

3、实际问题与数学模型之间的转化。数学模型是从现实世界中抽象出来的，是对现实世界事物的某些属性的一个近似的反映，但对解决实际问题而言，数学模型却是深刻、正确、完善地反映着现实。因此，把所考察的实际问题，转化为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决，充分地体现了“运用数学”的意识和能力。

转化思想的主要特点是它的多样性、层次性和重复性。一个数学问题，组成主要元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，其形式并非唯一，而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。因此，我们必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，具体问题具体分析。

二、我们在应用转化思想时候常用的到转化方法有以下几个方法

1、直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

2、换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

3、数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径。

4、参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化。

5、构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

6、坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题。

7、类比法：运用类比推理，猜测问题的结论。

数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质反映，是思维加工的产物，是人们对现实世界的空间形式和数量关系的本质的认识。在高中数学中的转化思想是数学思想的核心和精髓，是数学的灵魂。所以，教师在教学的过程中要对学生渗透和传授这个数学思想。

总之，“转化”思想在数学中的应用，不仅可以开拓学生的思路，开发学生的饿智力，提高学生的学习兴趣，使学生在轻松愉快中享受数学学习的快乐。还可以通过“转化”思想的训练，让学生养成多角度考虑问题，形成合乎科学规律的思维习惯，掌握正确的思维方法，从而优化学生的思维品质。