高考立体几何试题赏析

高中立体几何的核心内容是空间几何体的认识，空间点、线、面位置关系的确定以及空间几何的有关度量（包括表面积、体积、角、距离的计算.综观2013年全国各地的高考数学试卷，多数试题已经突破了传统的考查框架，在命题风格上，正逐步由封闭性向灵活性、开放性转变.盘点2013年高考立体几何试题，提炼其命题特点、亮点，希望对今后立体几何的复习教学有所裨益.

1 三视图题——显常规而不拘一格

例1 （2013年高考全国新课标卷Ⅱ·理11）某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为（ ）

A.16 8π+ B.8 8π+

C.16 16π+ D.8 16π+

命题意图 考查空间想象力，能正确分析图形中基本元素及其相互关系，能够对空间图形进行分解与组合，同时通过对几何体面积或体积的计算，考查推理与计算能力.

思路分析 该几何体是个组合体，其下面是个半圆柱，上面是个长方体，如图2.

点评 解题关键是还原几何体，其基本要素是“长对齐、高平齐、宽相等”，能从不同角度去看几何体.

体会与感悟 此类题型重点考查方向：复原—能识别三视图所表示的主体模型；求积—能根据立体模型求它们的体积或表面积；识图----根据提供的部分三视图画另外的一个三视图.

2 求空间角——传统与向量法兼备

点评 解题关键是恰当地建立空间直角坐标系，正确地写出各点坐标，准确地求出两个半平面的法向量（或直线的方向向量）的坐标，或“找”（“作”）出角，然后熟练地运用公式计算.

体会与感悟 空间向量在立体几何中起工具性的作用，因其避开了“作”、“找”角的难度，在代数与几何中起了承接作用，使传统法与空间向量法相辅相成.

4.2 翻折

例5 （2013年高考广东卷·理18）如图7，等腰三角形ABC中，90A∠=d，6BC =，D，E分别是AC，AB上的点，2CDBE==，O为BC的中点，将ADEΔ沿DE折起得到如图7所示的四棱锥ABCDE′？，其中3A D′=.

（Ⅰ）证明：A O′平面BCDE；

（Ⅱ）求二面角ACDB′？？的平面角的余弦值.

命题意图 考查化归与转化思想，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力

思路分析（Ⅰ）根据翻折前后线线关系推导出线面垂直的条件.（Ⅱ）作出二面角，通过解三角形求解，或者建立空间直角坐标系后使用法向量求解.

点评 解题关键是理清折叠前后平面图形与空间几何体间的对应关系.

体会与感悟 在翻折问题中，要从翻折前后线线位置关系的“变”与“不变”中找到解决问题的切入点，翻折前后位于相同平面中的线线位置关系不变，位于不同平面中的线线位置关系可能发生变化.

5 位置关系证明题——立体平面降维转化

5.1 平行关系

例8 （2013年高考安徽卷·理19）如图9圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5d，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60d.

（Ⅰ）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；

（Ⅱ）求cos COD∠.

命题意图 本题考查空间直线、平面平行关系的性质与判定等基础知识和基本技能，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.

点评 解题关键是根据题意取AB中点O，进而得到垂直关系.

体会与感悟 线线垂直、线面垂直、面面垂直三种关系的相互依存与相互转化是解决垂直问题的最基本方法.