数学实际应用性问题备考录

数学实际应用性问题主要涉及以下几类数学模型：

1.函数模型

现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.

例1（2011・湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x・v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

解析：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝60， 0≤x

(2)依题意并由(1)可得

f(x)＝60x， 0≤x

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；

当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13［x＋(200－x)2］2＝100003.

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f(x)在区间［20,200］上取得最大值100003.

综上，当x＝100时，f(x)在区间［0,200］上取得最大值100003≈3333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

说明：本题主要考查了函数在实际问题中的应用.要求同学们先利用待定系数法求解函数解析式，再求函数最值，而求最值往往要利用导数或基本不等式.这类问题在高考中最为常见， 能全面考查同学们的综合素质，同学们应特别关注.

2．数列模型

在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.

例2 在一次人才招聘会上，有甲乙两家公司分别开出他们的工资标准：甲公司允诺第一年月工资收入为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；乙公司允诺第一年月工资收入为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增5%.设某人年初被甲、乙两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在甲公司或乙公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司？为什么？

（3）在甲公司工作比在乙公司工作的月工资收入最多可以多多少，（精确到1元），说明理由.

参考数据：1.059=1.55 1.0510=1.63 1.0511=1.71 1.0517=2.29 1.0518=2.41 1.0519=2.53

解析：（1）此人在甲、乙公司第n年的月工资收入分别为

an=1500+230(n－1)，bn=2000(1+5%)n－1，(n∈N*).

（2）若该人在甲公司连续工作10年，则他的工资收入总量为

Sn=12(a1+a2+…+a10)=302400（元）.

若该人在乙公司连续工作10年，则他的工资收入总量为

Sn=12(a1+a2+…+a10)=302400（元）

因为在甲公司收入总量高，该人应该选择甲公司.

（3）问题等价于cn=an－bn=1270+230n－2000×1.05n－1的最大值.

当n≥2时，cn－cn－1=230－100×1.05n－2.当cn－cn－1>0，即230－100×1.05n－2>0时得n

这就是说，在甲公司工作比在乙公司工作的月工资收入最多可以多820元.

说明：本问题的关键在建立第n年的工资收入与工作年数n的函数关系，有了这个函数关系相关问题就可得到圆满解决.解答第（3）个问题要学会将问题转化，即求第n年的收入差cn=1270+230n－2000×1.05n－1的最大值.在求cn的最大值时要从cn>cn－1和cn

3．三角模型

三角模型常分为三角函数模型和解三角形模型.其中三角函数模型主要是先从实际问题中的函数关系拟合成三角函数，常以y=Asin(ωx+φ)+k作为载体.

所谓解三角形模型，就是利用三角函数知识，三角形的边角关系来解决实际问题的.

例3 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即∠C=60°），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记∠ABC=θ，问当θ为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？

解析:在ABC中，ACsinθ=ABsinπ3=BCsin(θ+π3)，

化简得AC=43・sinθ，BC=43・sin(θ+π3)，所以

SABC=12AC・BC・sinπ3

=123・sinθ・sin(θ+π3)

=123sinθ・(12sinθ+32cosθ)

=63(sin2θ+3sinθ・cosθ)

=63(1－cos2θ2+32sin2θ)

=63・［12+sin(2θ－π6)］

即SABC=63・sin(2θ－π6)+33

所以，当2θ－π6=π2,即θ=π3时，(SABC)max=93m2

答：当θ=60°时，所建造的三角形露天活动室的面积最大．

说明：本题是以一个简单的实际问题出发设计的一个考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质的题目，完整解答该题必须对三角恒等变换十分熟练．

4．统计与概率模型

在新课标数学教材中，统计与概率是必修3模块的主打内容，并在选修2-3中进一步拓展.在近几年的高考应用题中，统计与概率模型应用题几乎占尽“半壁江山”.

例4 （2011・辽宁卷文科卷）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

(1)假设n＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：

品种甲,403,397,390,404,388,400,412,406;品种乙,419,403,412,418,408,423,400,413;分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝1n［(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2］，其中为样本平均数．

解析: (1)设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4，令事件A＝“第一大块地都种品种甲”．

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．

而事件A包含1个基本事件：(1,2)．

所以P(A)＝16.

(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，

s2甲＝18［32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62］＝57.25.

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，

S2乙＝18［72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12］＝56.

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．

说明：本题为概率与统计的知识内容,涉及到总体特征数的估计以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数,利用有关概率与统计的公式解答.

例5 （2011广东高考模拟理科卷）某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列P(ξ=k)=112(k=1,2,……,12)，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？

解析：找出离散型随机变量月收入η与ξ的线性函数关系，用表格形式列出η与ξ的相关分布列，把月平均收入最大的实际问题转化为月售电冰箱利润期望值的最大问题.

设电器商月初购进的电冰箱台数为x，月收益为η，则η是随机变量ξ的函数η＝300x(ξ≥x)

300ξ-100(x-ξ)(ξ

ξ1…x-1xx+1…12

η300×1-100(x-1)…300(x-1)-100×1300x300x…300x

P112…112112112…112

则Eη=［300×1－100(x－1)］×112+［300×2－100(x－2)］×112+…+［300(x-1)-100］×112+300x(13-x)×112=253(－2x2+38x)=－503(x－192)2+90256

所以当x=9或10时，Eη值最大.

答：电器商月初购进9或10台电冰箱时能使自己的月平均收入最大.

说明：注重对离散型随机变量的数学期望意义的理解，关于离散型随机变量的应用题，关键是找出相关变量之间的关系，而列表是一个比较好的方法，它能清晰地反映出变量之间的联系，有利于解题.在实际问题中有时用期望或方差两个数字特征来反映事件的优劣.

最后提醒同学们注意的是要答题规范.数学应用题的解题表述，一般都有“一解，二设，三由题意得，四求解，五由实际意义定取舍，六写答案的完整”的步骤与格式.

（作者：徐彩娥，江苏省太仓高级中学)