新课标下构造函数法的应用浅谈

摘 要：构造函数法是指运用函数概念和性质，构造辅助函数解题的一种方法，它极具技巧性和创造性。利用构造函数法解题的关键在于找到能反映题目特征的函数，再利用函数的性质求解问题。巧用构造法解题能打破常规，找到解决问题的捷径。本文通过例题说明构造函数法在数学中的应用。

关键词：构造;函数;应用;概念;性质;求解;特征

构造函数思想是数学中的一种重要的思想方法，在数学中具有广泛的应用，它属于数学思想方法中的构造法.所谓构造法，就是按固定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。构造函数法是指运用函数概念和性质，构造辅助函数解题的一种方法，它极具技巧性和创造性。利用构造函数法解题的关键在于找到能反映题目特征的函数，再利用函数的性质求解问题。

构造法的关键在于如何“构造”，构造对象可以是等式、方程、函数，也可以是图形、数学模型等。这里，本人就教学中经常遇到的构造函数法作一简单介绍。

例1 已知：集合A={[x]|[x2+3x+2<0]}，B={ x | <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image3.pdf><0 }，且A∩B=A，求：实数[a]的取值范围。

解：化简集合A得：A={[x]| C 2 <[x]< C1 }

设函数[f（x）=x2-4ax+3a2]，由A∩B=A，得A <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image7.png>B。

则知集合B对应的区间应覆盖区间（C 2，C1），

所以函数f（x）=0 的根应分布在区间 （C2，C1）的两侧，如图1所示。 所以有：

<E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image9.png>

即 <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image10.png>

解得：C 1≤[a]≤[-23]

所以：[a]的取值范围为 [C1，[-23]]。

分析：运用函数思想来研究集合中有关字母取值问题，就是将集合之间的关系直观地解释成数轴上的区间覆盖关系，从而借助函数的性质和图象，来达到直观、简捷的解题日的。

练习1、已知：集合A={[x]|[x2-x-2>0]}，B={[x]|[x2+4x][+m<0]}，且A∪B=A，

求：实数[m]的取值范围。

例2 已知：方程[ax2-2x+3a-1=0]有两个实数根，其中有一根大于1，而另一根小于1，求：实数[a]的取值范围。

解：构造函数[f（x）=ax2-2x+3a-1]

则由题意知，满足条件只须下列条件成立：

[a>0f（1）<0]或[a<0f（1）>0] ;

解之得： 0< [a]< <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image22.png>

所以，[a]的取值范围为（0，<E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image22.png>）。

分析：其实这是一道很简单的一元二次方程的应用推广，解题方法有许多种，但这里通过构造函数的思想，得出答案，简单明了、易懂，让人一目了然。

例3 （第十五届全俄中学生数学竞赛题）

已知：0 <[x]、[y]、[z]< 1

求证：[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1]

证明：将[x]视为变量，[y]、[z]视为常量，将不等式左边化简得：[x（1-y-z）+z+y（1-z）]

构造函数：

[f（x）=x（1-y-z）+z+y（1-z）]，[x]∈（0，1）

由题意知，现只需证：[f（x）]<1，

[f（0）=z+y（1-z）<z+1-z]=1

[f（1）=1-yz<1]

当0<[x]<1时，[f（x）]<1

即 [x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1]

析：对于多变量的不等式证明，方法较难把握。这时可固定某些变量，再通过构造函数，利用函数的性质达到解题的目的。

另，本题也可构造正三角形，利用面积来解决。（如上图所示）

例4 已知：[a]>[b]>0

求证： <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image41.png>< <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image42.png> < <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image43.png> < <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image44.png>

证明：构造函数

[f（x）]= <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image45.png> （[a]>[b]>0）

易证[f（x）]为R上的单调递增函数，所以有：

[f（-1）<f（-12）<f（0）<f（1）]即：

<E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image41.png> < <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image42.png> < <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image43.png> < <E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image44.png>

分析：构造一个函数，使原不等式（或经变形后）的左右两边具备函数的特性（如：单调性、奇偶性等），再利用这些性质就可以证明不等式。

练习2：设[a]、[b]、[c]∈R，且[a]+[b]+[c]=1;

求证：[a2+b2+c2]≥<E：＼王芳＼速读・中旬201501＼速读排版1月中打包＼Image＼image56.png>

数学是一个有机的整体，它的各部分之间有着紧密的联系，构造法作为一个数学方法，通过上面几个例题，可见其在解题中的很重要性，作为培养学生的逆向思维的重要工具，在将应试教育转向素质教育的今天，有着光明的发展前途。