函数极限求解方法归纳

摘 要： 极限是微积分学中的一个基本概念，是微积分学中各种概念和计算方法能够建立和应用的前提。函数极限的计算比较灵活，本文对函数求极限的几种方法进行了归纳。

关键词： 函数极限 求解方法 归纳

极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿于微积分学的始终。可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限。在几乎所有的微积分教材中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性和重积分的概念。因此极限是微积分学中一个很重要的基本概念之一，是微积分学各种概念和计算方法能够建立和应用的基础。

应该说，极限的求解方法比较灵活，学生在实际计算时经常会碰到一些问题。因此，本文对函数极限的几种常用的求解方法加以归纳。

1.利用极限的描述性定义

极限的描述性定义为：若当自变量的绝对值|x|无限增大时，相应的函数值f（x）无限接近某确定的常数A，则称当x趋向无穷时函数f（x）以A为极限，或f（x）收敛到A，记为

f（x）=A或f（x）A（x∞）

利用描述性说明可以容易地估计出一些简单的函数极限，例如：=1，cos=1，等等。六类基本初等函数的极限也都可以根据描述性定义，结合图像方便地得到。

六类基本初等函数的极限需要学生熟记于心，这是后面求一些复杂函数极限的基础。但其中，有一些极限会比较容易混淆，在应用的时候要引起注意。比如：

lnx=-∞;lnx=+∞;e=+∞;e=0

arctanx=-;arctanx=;arctanx不存在

2.利用极限的四则运算法则

利用极限的四则运算法则可以求一些较为简单的复合函数的极限，但在应用的时候必须满足定理的条件：参加求极限的函数应为有限个，且每个函数的极限都必须存在；考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为0。

例1：（+）.

错解：原式=+=∞.

分析：在利用极限的加法法则时，忽略了，这两个极限是不存在的，所以违背了应用的前提。

正解：（+）=（+1）=∞.

例2：

解：因为（x+2x-3）=0，所以商的法则不能用.

又（4x-1）=3≠0，

==0.

由无穷大与无穷小的关系，得=∞.

3.利用一些常见的重要极限公式（或等价无穷小替换）

在微积分的教材中给出了两个重要极限公式：

=1，（1+x）=e.

我们可以利用这两个重要极限公式及其变形公式来求函数的极限。

例3：

解：原式=1+=1+?摇・1+?摇=e.

另外，利用这两个公式，我们可以得到其它一些重要极限公式，如：

=1，=1，=1，=1，=1，

这些公式可以直接作为结论来使用。其中，由等价无穷小量的定义，我们还可以得到一些等价无穷小量，即

当x0时，sinx~x，tanx~x，1-cosx~，ln（1+x）~x，e-1~x，arcsinx~x，等等。

因此，我们还可以利用等价无穷小替换求极限。

例4：

解：当x0时，sinx~x，arcsinx~x，所以原式==（x+1）=1.

但等价无穷小量替换不能乱用，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换。

例5：.

错解：当x0时，sinx~x，tanx~x，

所以原式==0.

正解：当x0时，sin2x~2x，tanx-sinx=tanx（1-cosx）~x，

所以，原式==.

4.利用函数变量替换求极限

对于一些较复杂的复合函数，我们可以适当地进行变量替换，简化极限的计算，这是一个由繁到简的过程。

对复合函数f［φ（x）］，令u=φ（x），a=φ（x），则有f［φ（x）］=f（u）.

例6：

解：设u=arctanx

原式==1

例7：li

解：令x-＝t，则当x时，t0，

且sinx=sin（t+）=sintcos+costsin=（sint+cost）

原式==-=-.

5.利用无穷小量的性质

例8：

解：当x∞时，为无穷小，而sinx为有界函数，=0。

6.利用函数连续性求极限

若函数f（x）连续，则有f［φ（x）］=f［φ（x）］。

例9：sin（1-）

解：原式=sin［（1-）］=sin［（1-）］=sine

7.利用二个准则：夹逼准则和单调有界准则

例10：（++…+）.

解：因为＜+…+＜，

又==1，==1，

所以由夹逼准则得：（++…+）=1

8.未定式求极限

未定式极限是极限计算中的一个重点，需要学生熟练掌握，常见的有四种未定式：，，（∞-∞），1.

（1）分子、分母都趋向无穷大，即型，处理方法是分子、分母同除无穷大因子的最高次幂。

例11：

解：原式==

当然，也可以直接利用结论：当a≠0，b≠0时有

=若n=m，0若n＞m，∞若n＜m。

（2）分子，分母都趋向无穷小，即型，常见的处理方法是：消零因子，有理化，利用重要极限公式或等价无穷小替换。

例12：

解：因为（x-3）=0，（x-9）=0，

所以先约去为零的无穷小因子x-3后再求极限，

原式===（消零因子）.

例13：

解：原式=（有理化）

===

例14：

解：原式==（等价无穷小替换）

（3）（∞-∞）型未定式，

处理方法为经通分、根式有理化或三角变换等方法处理后化为或型未定式。

例15：-

解：原式====.

例16：（-）

解：原式===∞

（4）1型未定式，处理方法是经变形后，设法用第二个重要极限（1+x）=e或利用公式e=x。

例17：{n・［ln（2+n）-lnn}

解：原式=［n・ln］=ln1+=ln1+

=2・ln1+=2lne=2

例18：（cosx）.

解：原式=e=e=e

当x0时，lncosx=ln［1+（cosx-1）］~cosx-1，

所以，原式=e=e.

9.罗必塔法则

对于未定式或的极限计算，还有一种重要而又简便的方法，即罗必塔法则。而且，有些未定式可能要重复使用罗必塔法则，才能确定待求极限之值。

例19：.

解：原式===1

在求极限的计算过程中，应注意随时约分化简或者分离出容易求极限的因式，以免越算越繁.另外，在求未定式极限时应善于把罗必塔法则与以前求极限的方法结合起来，使计算简化.

例20：

解：原式=・=・・=・・=1.

而其它类型的未定式求极限的关键是，先将它们化为型或型，然后再利用罗必塔法则或其他方法求解。

①0・∞型：0・∞?圯・∞或0・∞?圯0・.

②（∞-∞）型：利用通分、有理化等方法进行转化，∞-∞?圯-?圯.

③0，1，∞型：方法是通过取对数的方法进行转化，

01∞取对数0・ln0∞・ln10・ln∞?圯0・∞.

例21：（-）

解：原式====0

例22：（cotx）

解：取对数得，（cotx）=e，

因为・ln（cotx）===-1，

所以，原式=e.

但是，要注意罗必塔法则不是万能的，要时刻注意罗必塔法则的使用条件。

例23：

解：原式=，但不存在，故不能利用罗必塔法则进行求解。

正解：=x・・sin=0.

10.利用级数收敛的必要条件

如果级数u收敛，则其一般项u收敛于0，即u=0.

例24：

解：设u=，则因为==0，所以级数收敛，由级数收敛的必要性条件，有=0.

11.分段函数求极限

一般的，分段函数本身不是初等函数，但在其每段子区间上表示为初等函数，可按初等函数讨论极限问题，而对分段函数分界点的极限就必须先讨论左右极限。

例25：f（x）=，x＞1，0＜x＜1，求x=1处的极限.

解：f（x）===1，

f（x）====1，

所以，f（x）=1.

参考文献：

［1］龚德恩.经济数学基础［M］.四川：四川人民出版社，2001.

［2］赵树.经济应用数学基础［M］.北京：中国人民大学出版社，2007.

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