探究数学“错题教学” 创设互动高效课堂

摘 要 数学是一门严谨性和科学性相结合的学科，在数学的学习及解题过程中，学生做错题是一个普遍现象，“错题教学”成为常态教学的重要组成部分。本文结合多年的中学数学教学实践，从界定错题教学内涵入手，通过实例分类剖析中学数学教学中的常见错题，引导学生学会自主探究错题，并根据学生具体学习情况制订针对性的教学策略。

关键词 “错题教学” 归因 探究错题 教学策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

Explore Math "Wrong Question Teaching",

Creatt Interactive and Efficient Classroom

PAN Lili

(Hangzhou Caihe Middle School, Hangzhou, Zhejiang 310012)

Abstract Mathematics is a combination of rigorous and scientific disciplines, in mathematics learning and problem-solving process, students' wrong question is a universal phenomenon, "wrong question teaching" has become an important part of the normal teaching. In this article combined with years of secondary school mathematics teaching practice, define the wrong question to teaching connotation, through a common mistake in the title in the instance of the classification analysis of secondary school mathematics teaching, guide students to learn independently to explore the wrong title, and develop targeted instructional strategies based on students' specific learning .

Key words "wrong question teaching"; cause; explore wrong question; teaching strategy

在中学数学日常教学中，不论是平时的作业，还是测验，乃至中考中，总会有些题型反复强调和练习，但学生仍然解错，笔者曾一度对这个问题产生了困惑，并开始思考如何更好缓解这个矛盾。经过深刻反思，笔者发现问题的根源在于：很多学生做习题很少进行认真仔细的反思，为做题而做题，做错时只就题改题，不能对知识和方法进行归纳；同时多种因素导致教师过多的关注知识和错误本身，而忽视反思错误产生的根源。

美国心理学家桑代克说过：“学习的过程，是一种渐进的尝试错误的过程。”可以说，没有错误就没有真正意义上的学习。利用和研究学生错误，反思自身教学，拓展师生共同成长的空间，是新课程改革背景下教师促进学生学习，顺利完成教学目标的必由之路。因此，笔者提出，通过探究“错题教学”，努力创设互动高效课堂。

1 “错题”教学的内涵

笔者认为，“错题教学”不仅仅是订正作业、试卷或者建立错题本，而是在教学中，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，充分利用教学机智去发现学生在课堂、作业、试卷中出现的错题，并对其归纳整理；通过展示错题，引导学生自探究错题；再由教师讲评错题，包括解题方法和数学思想，从而使学生纠正错误并获得进一步理解；最后，教师指导学生进行变式训练，使得学生能巩固知识。因此，“错题教学”就是把知识、过程、情感目标三者有机统一起来，把讲评与针对性练习有机统一起来，是提高数学教学有效性的一条重要途径。“错题教学”可以是教授新课时的一个片断，或者是一次作业后的讲评，也可以是完整的一堂纠错课。

2 错题的归因分类

多数学生面对错题时缺乏反思意识和反思能力，总结做错的原因几乎都是“粗心”、“理解错了”、“审题不仔细”等；对于学生“一错再错”的现象，教师也不能简单归咎于学生粗心或不认真。所以教师有必要记录和积累学生学习过程中产生的错题，正确评价学生反复发生的错误，多角度探究错题的成因，从而采取更有效和更具针对性的教学策略。由于错误原因的多样化，使得划分错误的标准多元化，且收集的错误也未必覆盖全部内容，因此笔者在此只是做一个大致的划分。

2.1 知识型错题

这类错题产生的主要原因是学生对概念理解不准确，或者没有深刻理解概念的内涵和外延；忽视了数学中的公式、性质或定理的前提条件或者限制条件；不能充分挖掘题中隐含条件等等。

题1：下列方程是一元二次方程的是（ ）

A. + = 1 B.

C. = 0 D. = 0

错解：C

错因：一元二次方程满足三个条件：整式方程、一个未知数、最高次为2次。该错误属于没有把握概念的内涵。学生判断A、B均含有分母，不是整式，D显然不是，故选C。错误原因还包涵对分式的概念以及二次根式的理解不到位。

题2：已知：如图1，AB = AD，∠B =∠D。说明：BC = CD。

错解：证明：连接AC

AB=AD，AC = AC，∠B =∠D

ABC ACD BC = CD。

错因：证明三角形全等的定理之一是“边角边”定理，如果两个三角形出现两边和一角对应相等，则该角必须是两边的夹角才可证明全等。此处对于该定理的使用条件未能把握，导致出错。

题3：关于的一元二次方程 = 0有实数根，则k的取值范围是_________。

错解：≥ -

错因：未能挖掘题目中的隐含条件――一元二次方程，故还要满足二次项系数≠0。

图 1 图2

2.2 能力型错题

分析能力的培养是“全面思考，系统整合”的加工过程。许多学生由于分析能力的欠缺，在解题中常常不能把多个信息进行整合，思路不够开阔和流畅。

题4：如图2，已知函数 = 和 = （为负数）的图象交点为，且的横坐标为1，则不等式＞的解集为______。

错解：＞

错因：该题没能利用数形结合思想，通过观察图形进一步挖掘已知条件，从而直接写出正解。体现了思维的单一性和盲从性。

题5：等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角度数为________ 。

错解： 30

错因：在解决与等腰三角形有关的问题时，要注意数学的分类讨论思想，培养思维的严谨性。上题只考虑到腰上的高线在三角形的内部是产生错解的原因。事实上，对于本题腰上的高线还可能在三角形的外部，应分两种情况进行求解。

题6：定义[ ]为二次函数的特征数，下面给出特征数为 [] 的函数的一些结论：① 当 = -3时，函数图象的顶点坐标是( 1/3 ，8/3 )；

② 当＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3/2；

③ 当＜0时，函数在＞1/4时，随的增大而减小；

④ 当m≠0时，函数图象经过同一个点。其中正确的结论有（ ）

A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④

错因：本题给出一个“定义”，只有学生充分理解并消化，才能对题中结论加以转化，从而做出判断，需要较强的审题能力以及思维的整合能力。相当一部分学生未能分析题意导致无从下手，从而错误率较高。

2.3 心理型错题

还有一类错题普遍存在：一些涉及知识点不难、思维要求不高的试题，常有较多学生(甚至有的是优等生)解错。许多情况下，都与某种心理因素有关，主要有以下几种心理偏差：思维定势、情景性迷惑、行进性遗忘等等。

题7：某厂1月份生产零件2万个，第一季度共生产零件9.5万个，若每月的增长率相同，求每月的平均增长率．

错解：设每月的平均增长率为， = 9.5

错因：上述解法是解变化率问题的基本模式，导致一见到该类问题就思维定势，套用模式，从而忽视了审题。

题8：解方程： = 3

错解： = 3

错因：本题在方程设置上就具有一定诱惑性，使学生产生麻痹性，从而失根致错。

题9：如果方程（ + + 1）（） = 4，那么 + = _________。

错解：-2或3

错因：用换元法解得 + 的值为-2或3，学生在解出方程后已经忘记所求，故产生错误。此类错误令人遗憾。

布鲁纳说：“学生的错误都是有价值的”。教师要在教学的过程中注意建立错题资源库，根据不同的学生产生的错误不断丰富资源库，并要巧妙、合理的处理好“错误”资源，能够在学生错误产生前、产生时或产生后审时度势、因势利导，选用相关策略予以引领，可以使“错题”增值，课堂高效，不断提高学生的学习能力，同时促进自身的专业成长。

3 “错题”教学的基本环节和策略

错题教学中应突出学生的主体地位和教师的主导地位。教师发挥主导作用，根据学生产生的错误或困惑，引导和鼓励他们反思探究，通过交流合作，产生交互影响，以动态生成方式领悟错因，巩固知识，提升能力。其教学流程如图3：

图3

3.1 整理错题――发现错题

笔者认为此处“整理错题”具有广泛性，主要体现在学生产生错误前能预见错误；在课堂生成错误时能透析错误；在学生解答错误后能总结错误。

3.1.1 课前预设错误，以“错误”为起点，挖掘知识内涵

教师通过认真钻研教材，凭借教学经验，依据学生发生错误的规律，可以预见学生学习新知识的过程中发生的各种思维错误，从而能在教学设计中加以重视，提高教学的有效性。

例如，学习解方程 = 1 ，本题要用到分式的基本性质与等式的性质，教师预见到学生在使用定理的过程中极可能混淆两个定理，因此有必要在引入新课前准备一些分数的基本性质与等式的性质练习，帮助学生区分与辨别，避免产生混乱与错误。

该错题教学策略的构思是基于“如何教好”这个前提展开的，分析学生的错误，可以使得制定的教学策略更有针对性，既控制了可能发生的错误，防患于未然，把错误消灭在萌芽状态，又提高了学生分析和解决问题的能力。

3.1.2 捕捉生成错误，以“错误”为契机，拓展知识容量

叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中指出：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。”“课堂上的错误是教学的巨大财富。”课堂教学是动态的、变化发展的，在师生、生生交流互动的过程中，随时可能产生错误信息。作为教师，要及时捕捉这些生成性的错误，及时调整教学方法，引导学生暴露思维过程，从中找到错误的根源。

比如在教学《二次根式的性质》时，其中一个性质是： = ・ （≥0，≥0），在引出性质后准备了一组开小火车的练习。计算时，一个学生说“等于17”，其他同学很快的回答“对”。笔者停顿了一下。反应快的学生马上意识到好像不对，但是一下又说不出原因。此时学生产生认知冲突，笔者调整了教学顺序，引导全班讨论。原来学生均受性质影响，把52、122分别开方了。为什么不能分别开呢？让学生再来反思自己的错误，他们发现并总结了该性质使用的前提和特点。不能分别开方，究竟如何计算该式呢？学生提出了自己的两种方法，进而推广到的一般计算方法。由于及时干预学生的错误，让学生在议错、辨错中进一步理解知识，类似于这样的错误在后来的作业中大大减少，同时通过对解题方法的讨论，拓展了知识容量。

面对某些典型性、关键性、有普遍意义的错误，教师能及时捕捉并提炼成为全班学生学习的新资源，并及时适度地进行引导，往往会达到意想不到的效果。从而，教师的课堂教学会因错误、发现、探究、进步的良性循环而充满活力。

3.1.3 整理典型性错误，以“错误”为资源，提升知识高度

整理错题，做好错题研究是双方的。教师应当有自己的错题资源库，在日常教学中不断积累，并予以研究，根据学生的认知、能力水平以及心理特点加以分类，有助于发现规律，改进教学。学生也可以建立自己的错题集。错题集应该是学生知识漏洞的题典，不是简单地将题目和答案抄录下来，要在学习的过程中分析哪些是自己经常容易出错的题目，要分析出现错误的原因和预防类似错误出现的方法。如，笔者在“错题的归因分类”中提到的能力型错题，学生通常会一错再错，就非常值得摘记和分析。在复习的过程中，学生会自然而然理解该类错题的内在规律。

整理错题是一个自身逐渐学习和修正的过程，但需要持久的耐力和精力，以及充足的时间，一般能力较好的学生基本能完成任务，而对于基础薄弱同学在功课繁重压力大的同时，几乎成为不可能完成的任务。所以，笔者认为，不要复杂化错题集，越简单越好，教师要作适当的指导，学生整理的错题应当要针对他们自身的学习能力和学习状况，具有个性化和实用性。

3.2 展示错题――探究错题

加涅的教学活动设计理论指出：学习者听到的确内容能记住10%，读到的内容能记住20%，看到的能记住30%，做过的事能记住70%。研究错题只有结合犯错误的人才有研究的价值。面对错题，我们不能无奈、被动地采取“错题―改正”这样单一循环的方式，要让学生自主发现问题。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。

（1）给予空间，让学生自主分析。笔者在多次辅导个别学生订正错题时，问：“你是怎么思考的？”学生往往说着就一拍脑袋：啊呀，我知道错哪里了。很多学生在叙述思路的过程中就已经能够感悟到自己的问题所在、漏洞所在，甚至能纠正自己原来的错误。

（2）给予方法，让学生自主反思。教师可以给出多种错误的原因供学生参考，使他们对于错误的反思不停留于表面和形式；可以让学生对比正误两种解题过程，找出自己解题过程中存在的典型错误或疑难问题，从而究其错因；也可以小组合作订正，通过与学习的伙伴的交流而得到启发等等。学生是学习的主体，学生的反思自省能力强，学习中的错误就越容易被其自主自动地发现、改正、识记，并逐步减少出错率。

3.3 错题教学――纠正错题

“错题教学”的核心功能是能够较好的预防或减少学生差错，以及防止学生再次出现同样的错误。相应的，“错题教学”策略包括错题的即时讲评教学策略和错题预防教学策略。教师应当对学生出现的各种错误进行诊断，根据诊断提取相应的解决策略加以纠正。

3.3.1 善用正反例，强化概念差异

对于知识性错题，教师需要加强概念教学，但教学中不能就概念论概念，仅仅注重概念的文字内容，要站在一定高度引导学生，提升学生在学习概念过程中的观察、归纳能力。奥苏伯尔曾提到正例和反例因素对概念习得的影响，并发现，反例之后，继之以正例，这是最有效的方法结合。

例如：文中提到的“题1”，学生之所以选择C. = 0为一元二次方程，是对“分式”概念理解模糊情景下的再次犯错。分母中含有字母是识别分式的重要标志，学生未能把握导致先排除了选项B。因此，教师可在分析完“一元二次方程”概念后给出反例① + = 1；② + 1 = 0；③（） + = 0 ，并引导学生辨析，①中分母中含有字母，是分式，不满足整式方程；②中通过合作交流，根号下含字母，教师解释这一类属于根式方程，学生就能认识到在已学过的方程中包括了整式方程、分式方程和根式方程等；③不一定是一元二次方程，若 = 2，就不是一元二次方程；给出反例的过程中辅以正例，让学生叙述“是”的理由，这样不仅能巩固已学的单块内容，又可形成方程的知识网络和新的认知结构；而且反例③的编排对于预防“题4”的典型错误亦起到事半功倍的作用。

3.3.2 运用对比教学，明辨条件差异

对于许多能力型错题，由于学生对数学问题本质的理解有一个过程，对各知识点之间的联系的了解还不到位，解题时往往错误较多。学生通常必须经过几次挫折才能掌握。如果教师在教学时，能选用适当的题组进行对比教学，那么，学生对数学问题本质的理解过程就会缩短，对各知识点之间的联系的了解就会到位，可以有效地减少错误。

如，在讲列一元二次方程解变化率问题后，给出以下题组：

①某厂1月份生产零件2万个，3月份生产零件9.5万个，若每月的增长率相同，求每月的平均增长率。

②某厂从1月份开始生产某种零件，若每月的增长率相同，3月份生产零件比1月份增加了44%，求每月的平均增长率。

③某厂原计划1月份生产零件2万个，实际只完成了80%，从2月份开始改进技术，第3个月生产零件9.5万个，若每月的增长率相同，求每月的平均增长率。

④某厂1月份生产零件2万个，第一季度共生产零件9.5万个，若每月的增长率相同，求每月的平均增长率。

解这类题目一般可套用模式： = 。在讲评过程中，教师应给予点拨：方程的变化是因题目条件的变化引起的：②体现了、的处理方法的不同以及的变化；③体现了的变化；④体现了等量关系的变化。题组中展示了各种变化，通过明辨条件的差异，理解万变不离其宗的道理，有效的引起学生对审题的重视，有利于错误的避免与纠正，也利于培养学生思维的批判性。

3.3.3 巧用变式教学，提升拓展思维

当然，学生作业考试中出现的一些难题也成为一些主流错题。但很多难题都是基于基础的题型加以深化。故教师可通过变式教学，让学生练习那些在知识、方法上有关联而在形式上又不同的题目组成的题组，使学生对一些基本知识、方法及重要的数学思想加深领会，达到触类旁通的境地。

如：通过解一个题学会“一线三直角”基本模型。如图4梯形ABCD中，∠A = 90，AD∥BC，AD = 1, BC = 4，AB = 4，E是AB上一点，且DECE。求AE的长。

图4

从而会解具有“一线三锐角”、“一线三钝角”等基本模型的较难题。

教师通过变式教学让学生理解数学知识的本质，使学生从会解“一个题”发展到会解“一类题”，有利于克服“多练多错”的现象，且更能准确的认识解题规律、优化解题方法，使学生能较好的把握较难题，减少出错率。

3.3.4 注重非智力因素，增强情感激励

对于很多的心理型错题，教师需重视学生的非智力因素，注重培养学生良好的学习习惯，增强情感激励，激发学生学习数学的热情。教师可以从多方面入手，尤其重视以下几点：

（1）重视学习习惯、方法培养：良好的习惯是正确解题的重要条件。平时教学中，教师应注重自身的思维严谨性和言传身教性，并大力加强学法指导，解题技巧，尽量避免“遗憾性”错误。

（2）注重提升学生学习兴趣：对于数学的兴趣和自信则能产生良好的习惯。学生凭借学习兴趣，就会有强烈的参与欲和高度专注力。因此，笔者总是有意识地把课堂教学的幽默与深刻讲解知识相结合，让学生在数学课堂上获得美感享受，提高学生学习的专注性，从而提高学习效率，降低错误发生率。

（3）课堂教学、课外辅导相结合：由于学生的注意力程度及接受能力的差异，教师需要格外关注一些数学学困生，多进行个别辅导，帮助其尽快克服数学学习中的苦恼与恐惧心理，提升学习动力，从而减少错误覆盖率。

3.4 精选类题――训练巩固

（1）变式错题， 提升辨析错误的感悟。对于课堂的预设或生成错题，犹如医生对症下药，教师需设计一些针对错题的补充性练习题。对优生可出一些变式提高题，而不再是简单的重复；对学困生出一些基础题，但不宜过多，通过练习培养学生举一反三的能力。

（2）集合错题，增强找错纠错的效能。当然，教师也可以通过自己精心准备，在阶段学习后出一张错题试卷，不仅是错题的集合，而且每题的答案均为学生典型的错解，然后让学生找错误、分析错误、写出正确的过程，从而潜移默化提高学生记错、议错、辩错和改错的主动性和反思能力。把这样的单元复习卷加以整理和保留，不仅免去学生整理错题的繁琐，还具有反复使用性，相信对于中考的复习也是未雨绸缪、行之有效的好方法。

笔者在数学教学中一直坚持探究“错题教学”，经过对“错题教学”的实践，优化了教学过程，促进了学生学习方式的改善，激发了学生学习数学的兴趣，从而创设互动高效课堂。

美国教育家杜威指出：“真正思考的人从自己的错误中吸取知识比从自己成就中吸取的知识更多，错误与探索相联姻，相交合，才能孕育出真理。”错题就像放在太阳光下的多棱镜，它能折射出学生在知识、方法、技能等方面的不足，亦能折身出教师在教学中存在的问题；对待错误的态度，亦能透射出教师教育的理念、智慧。教师若能合理地开发错题资源，积极引导学生探究错题，分析错因，从而对症取方，对学生改进学习方法和学习方式大有裨益，同时，这无疑是打开了有效教学的一扇窗，开辟了全新的师生互动、生生互动的高效课堂。

参考文献

[1] 李.数学教学方法论.福建教育出版社,2010.

[2] 马复.初中数学教学策略.北京师范大学出版社,2010.

[3] 叶澜.重建课堂教学过程观.江苏教育出版社,1990.

[4] 章敏毅.数学教学中的题组教学.中学数学月刊,2001.