高考概率题热点背景赏析

综观2011数学高考题，出现了很多充满时代气息的概率应用题，关注社会热点问题，拉近数学与现实生活的距离．这些应用题

体现出高考数学以问题为背景、以知识为载体、以方法为依托、以能力为主线，在平凡中见真奇，在朴实中考能力的命题意图．

例1（2011安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只需一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1,p2,p3,假设p1,p2,p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先、乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1,p2,p3的一个排列，求所需要派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；

（Ⅲ）假定1>p1>p2>p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．

解析：（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)=p1+p2+p3－p1p2－p2p3－p3p1+p1p2p3．

（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3，随机变量X的分布列为

X123

Pq1(1－q1)q2(1－q1)(1－q2)

所需派出人员数目的均值为EX=q1+2(1－q1)q2+3(1－q1)(1－q2)=3－2q1－q2+q1q2．

（Ⅲ）由（Ⅱ）结论知，当以甲在先、乙次之，丙最后的顺序派人时，EX=3－2p1－p2+p1p2

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值．下面证明：对于p1,p2,p3的任一排列q1,q2,q3，都有3－2q1－q2+q1q2≥3－2p1－p2+p1p2（＊）．事实上，

(3－2q1－q2+q1q2)－(3－2p1－p2+p1p2)

=2(p1－q1)+(p2－q2)－p1p2+q1q2

=2(p1－q1)+(p2－q2)－(p1－q1)p2－q1(p2－q2)

=(2－p2)(p1－q1)+(1－q1)(p2－q2)

≥(1－q1)［(p1+p2)－(q1+q2)］≥0，

故（＊）成立．即按甲在先、乙次之，丙最后的顺序派人，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．

评注：以全球关注的核安全问题为载体，通过分层设问使得试题既具开放性又具可控性，试题渗透了对解决问题方案的优化思想，引导运用研究性学习的理念，把现实问题“数学化”，构建恰当的数学模型，鼓励猜想、探究、论证、迁移，学会提出问题、分析问题并解决问题，而且探究的结果与常理相符，体现了“能者为先”的理念，完美地回归数学的科学价值和人文价值．

例2（2011重庆卷理17）某市公租房的房源位于A,B,C三个片区．设每位申请人只能申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4个申请人中：

（1）恰有2人申请区房源的概率；

（2）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．

解析：(1)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请区房源的申请方式有C24・22种，从而恰有2人申请区房源的概率为C24・2234=827．

（2）ξ的所有可能值为1，2,3.又P(ξ=1)=334=127，

P(ξ=2)=C23(24－2)34=1427,

P(ξ=3)=C13C24C1234=49,则ξ的分布列为

ξ123

P127142749

故Eξ=1×127+2×1427+3×49=6527．

评注：本题以公租房热点问题为背景，从同学们的生活实际出发命制考查应用数学意识的题目，充分体现数学生活化和数学广泛应用性的理念．考查抽象概括能力，概率思想在生活中的应用意识和创新意识．

例3（2011四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12,14；两人租车时间都不会超过四小时．

（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．

（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ， 求ξ的分布列及数学期望Eξ.

解析：（Ⅰ）由题意知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别是14,14，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)=14×12+12×14+14×14=516.

(Ⅱ) ξ的可能取值为0,2,4,6,8.P(ξ=0)=14×12=18，

P(ξ=2)=14×14+12×12=516，

P(ξ=4)=12×14+14×12+14×14=516，

P(ξ=6)=12×14+14×14=316，

P(ξ=8)=14×14=116．

故甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ的分布列为：

Eξ=0×18+2×516+4×516+6×316+8×116=72.

评注：本题以低碳生活、运动健身的自行车骑游真实情境为背景，贴近生活实际，题目新颖别致，模型明确，难度适当，充分考查阅读理解能力和运用数学模型解决实际问题的意识和能力．

（作者：徐勇，江苏省板浦高级中学)

耶鲁大学“态度”，送给正在为高考奋斗的学子们

耶鲁大学（Yale University），始创于1701年，是美国历史上建立的第三所大学，第一所是哈佛大学，第二所是威廉玛丽学院。它和哈佛大学、普林斯顿大学齐名，历年来共同角逐美国大学和研究生院前三名的位置。耶鲁大学历史上曾出过5位美国总统，培养出一大批杰出的中国留学生，包括容闳、詹天佑、马寅初等等。其中，容闳是第一位取得美国大学学士学位的中国人。下面即将这世界一流大学严格信奉的“态度”送给正在奋斗的高考学子们。

一：心态

1.要自信，绝对自信，无条件自信，时刻自信，即使在做错的时候。

2.寂寞空虚无聊的时候看点杂志，听听音乐，没事给自己找事干，可以无益，但不能有害。

3.不要想太多，尤其是负面的想法，定时清除消极思想。

4.学会忘记一些东西，那些痛苦的、尴尬的、懊悔的记忆，为阳光的记忆腾出空间。

5.敢于尝试新事物，敢于丢脸，热爱丢脸，勇于挑战。年轻时多犯几次错误，有好处。但能一步到位的，一次就对的，就别出岔子。

6.每天都是新的一天，烦恼痛苦不过夜。每天早晨以乐观热情的心情迎接新的一天，即使昨天被人扇了一个大嘴巴。

7.承认自己的不聪明，不勇敢，这样在面对别人的优秀时，可以坦然，并给予发自内心的赞美；做人的最高境界不是一味低调，也不是一味张扬，而是始终如一的不卑不亢。

耶鲁大学“态度”，送给正在为高考奋斗的学子们

二：学习

1.学习永远是第一位的，不能舍本逐末。

2.重视预习和复习，学会自学。不错，考前突击可以使你取得高分，但速成的知识也是脆弱的。我认为你们也不想毕业后发现自己什么都没记住，大脑空空如也。

3.上课跟上老师的思维，能坐第一排就坐第一排。

4.懂得配合，课堂上活跃一些，不是做给别人看，是做给自己看。

5.一定要即时完成老师的作业。

6.永远不要忘记合作学习、相互学习，在大学没有高考的压力，这种单纯的向学精神更是难能可贵的。

7.对自己要有高层次的要求，不要认为不挂就呼万岁。

三：交往

1.在没了解之前，假定一切人都是善的，真心地对待身边的每个人；

挖掘每个人身上的优点，真诚的赞美别人。

2.朋友要全面撒网，重点培养(谈恋爱，男女朋友例外)。

3.知己可遇不可求，有些人习惯把别人锁定在一定距离之外，亲近容易，要想更亲近就难了，对于这样的人，你投入再多热情也没用，只会让自己郁闷。不如保持距离，适可而止。

4.真诚地主动帮助别人，不求回报。做每件事都想要别人感激，那是注定要失望的。

5.学会说不，不要让友情成为一种负担。

6.尝试让别人去读懂你，好过挖空心思去读懂别人。因为你读懂别人，你感到那人很熟悉，而那人却感到你很陌生。好比暖手碰尖刀，找伤。

7.对于真正的朋友，不要吝啬关心的话语。一条短信，一个问候，主动一点，不要太斤斤计较谁对谁更好一点。友情的双方一定有一个付出多一点。那个人是谁不重要，重要的是你们的感情在继续。

8.无论什么情况下都要保持自己的独立性，不要丧失自我。

四：工作

1.永远都不要抱怨什么。抱怨只会暴露你的无能。

2.公私要分明；随时保持积极主动。

3.在公共的场合不要过多流露自己的情绪和情感。有情绪了找朋友说，别找同事说。

4.做事讲效率；少说话，多做事。

5.跟同事领导搞好关系，但不要妄想和他们成为知心朋友；

该知道的知道，不该知道的甭打听。

6.有些事情，看破但不要说破。

五：生活

1.把自己的东西收拾整洁，物归其位。

2.赚钱不如省钱。适度节省比赚钱更能省钱。

3.穿衣服不必名牌，但一定要注意搭配。(努力喽)

4.少吃零食，多吃水果。

5.注意保暖，别满不在乎，得了老寒腿、风湿没人管。

6.女生应会的技能是一定要会做秀外慧中的自己。