从“数学的问题”走向“数学地思维”

“探索与实践”是苏教版小学数学高年级段教材的重要“练习板块”。在实际教学中，这样的特色“板块”往往被教师按部就班地静态呈现，或是当作普通习题处理，或是轻轻跳过淡化处理，它的编排意图、思维含量却少有人深究，“探索与实践”教学仅成为学生巩固知识、掌握技能的手段，让学生“学会数学地思维”没有得到应有的重视与支持。如何发挥“探索与实践”这个板块优势，让其更有教学意义与价值深度？笔者结合苏教版小学数学五年级上册第二单元整理复习中“探索与实践”第10题的教学实际，谈谈自己的实践与思考。

一、形象到抽象：把握问题背后的“出发点”

从“基于儿童”的立场看，我们不难把握问题的出发点——帮助儿童学会“数学地思维”，引导学生进行再学习、再思考、再联系、再发现。教材呈现的静态问题“用什么方法算出这堆钢管一共有多少根？”其教学价值指向何处？从浅层次看是计算多边形面积，巩固所学知识；从深层次看则是建构知识关联、加强逻辑推理，体验和感悟问题解决过程中涉及的数学思想方法。因此，教师的课堂任务就要引导学生独立面对问题，进行信息收集与处理，基于现实问题从形象走向抽象，并自觉地展开思维训练。

师：阅读题目，你了解到了什么？

生：最上层有9根，最下层有16根，共8层。

师：再仔细观察，你还发现了什么？

生：堆起来的钢管从侧面看，形状是梯形。

生：每一层都比上一层多1根。

师：每一层各是多少根？（根据学生的回答板书：9、10、11、12、13、14、15、16）

生：求一共有多少根钢管，就是求9+10+11+12+13+14+15+16的和是多少。

信息收集与分析能力是重要的思维能力。教学过程中，不少数学老师总喜欢帮助学生设计好思维的方向、方法与程序，课堂似乎思维顺畅，实际则是用老师的思考代替学生的思考。久而久之，容易造成学生的思维惰性。教师要重视学生搜集信息、独立思考、解决问题能力的培养，充分依托教材提供的学习素材，引导学生有条理地梳理题目中的文字或图形信息。本题可以根据“这堆钢管侧面的形状是梯形”和“每两层之间相差1根”，依次列举出每一层钢管的根数，从形象到抽象，进行一次思维梳理，自主捕捉问题解决的本质：求9+10+11+12+13+14+15+16的和，并为探究发现两种算法之间的联系提供经验基础。

二、经历到经验：把握知识意义的“联接点”

经验能影响思维的形成与发展。经历在“行”，经验在“心”。经验不能从外部输入，或由别人替代，需要学生通过自身亲历观察、操作、想象、模拟、描述、分析、判断、推理等活动，不断积累基本活动经验，形成比较深刻的意义“联接”，对提升概念认知、理清数量关系、自主构建知识体系等具有积极意义。

师：根据经验，你准备采用什么方法进行计算呢？

生：把每一层的钢管全部加起来是：9+10+11+12+13+14+15+16=100。

生：可以利用梯形的面积公式计算，（9+16）×8÷2，也等于100。

师：你是怎样想的？

生：因为钢管侧面的形状是梯形。

生：可以把一根根钢管想象成一个个小方块，求钢管的根数就是求小方块的个数。

生：用两堆完全一样的钢管拼起来，从侧面看就是一个平行四边形，每一层都有25根，有这样的8层，25×8的一半就是这堆钢管的根数。

表面上，大多数学生除用加法计算之外，会想到用梯形的面积公式来计算这堆钢管根数，但想法是否正确还有待证明。因此，教师最重要的是要引导学生跳出“估计可以”的猜想来解决问题，能基于现实经验进行数学思考和以动作思维为特点的操作体验，以此印证自己想法的合理性与准确性，真正有意义地领会其中的规律，丰润自己的思维认知。

三、感受到感悟：把握思想方法的“固着点”

数学教学没有了数学思想方法的支撑，就会失去数学教学的“固着点”。因而，教师应特别注重探索与实践活动中的思想渗透，通过比较、联系、感悟等体验活动，摆脱知识技能等形式层面的束缚，挖掘浸润于显性知识中的基本数学思想方法，升华探索与实践的思维活动，感悟思想方法的意义内涵，有效发展学生的数学思维能力。

师：比较9+10+11+12+13+14+15+16和（9+16）×8÷2，你们有什么发现？

生：（9+16）×8÷2，就是把加法中第一个9和最后一个16相加得25，10+15，11+14，12+13，每组和都是25，一共有8÷2=4（组）。

教师板书：

生：只要是几个连续自然数相加，都可以用第一个数加上最后一个数的和，乘上个数，再除以2。

生：9+10+11+12+13+14+15+16像梯形的腰一样慢慢变粗，也能用梯形面积公式求和。

生：求一堆钢管有多少根，可以根据它的侧面图形面积计算公式计算。

师：如果继续按这样的规律一层层往上堆钢管，最上面一层为1根，新堆成的钢管堆侧面是什么图形？有几层？共有多少钢管？

生：新增加的钢管堆侧面是三角形，有8层，可以用“8×8÷2=32”计算。

师：有没有不同意见？

生：这个侧面看起来像三角形，其实还是一个梯形。应该用“（1+8）×8÷2=36”计算。

生：从1连加到8和是36，不是32。

生：我用两堆完全一样的钢管拼起来，从侧面看就是一个平行四边形，每一层都有8+1=9（根），9×8的一半就是36根。

通过比较两个算式，巧妙利用两种方法的外在差异与内在联系，展开直观思辨，符合学情与思维规律。对应、化归、建模等思想方法不经意间自然流露，让学生自觉抛去图形束缚，自由探究知识本质。

四、生成到生长：把握思维拓展的“发散点”

我们的探究不能止步于知识规律的揭示和思想方法的触摸，而是要基于学生已有和现有经验（认识、思想、方法等）作为新的拓展起点，通过举一反三、变式求异等发散性的“再思考”，引发学生更全面、多向、深层地探究尝试与思维拓展，达成从经验生成到思维生长的升华，促进思维的深度与广度。

（出示一堆依次按2、4、6、8、10根摆放的钢管）算一算：还能用梯形的面积公式来计算吗？想一想：这些钢管的堆放和刚才的比较有什么共同特点？

生：虽然每两层之间相差2根了，但侧面形状还是梯形，可以用梯形的面积公式计算钢管的根数。不管是2+4+6+8+10，还是（2+10）×5÷2，计算结果都是30。

生：从侧面看，这些钢管在堆放上的共同特点是都堆成了梯形。

生：同一堆钢管中每两层之间的差不变，可以用梯形的面积公式计算根数。

师：你能自己设计一堆符合这种条件的不同类型的钢管，用简便方法求出结果吗？

生：3+6+9+12+15+18……

师小结：（结合介绍高斯求和故事）通过刚才的探索与研究可以看出，只要我们勇于探究和善于思考，就会获得像数学家高斯一样的眼光与成果。

从特殊到一般、一般到特殊，老师将习题不断地变化衍生，设计出一个个富有启发性的“再生问题”，引发学生不断地“碰撞”与“验证”，从形象到抽象，从经历到经验，从感受到感悟，从生成到生长，层层转换，环环提升，必将引领学生走向学会“数学地思维”的佳境深处。■

（作者单位：江苏省宜兴市阳羡小学）