数学中考热点试题评析(五)

科学技术是人类在历史长河中对自然奥秘不懈地探索、发现、总结、感悟中逐步发展起来的；对未知的探索、发现的过程自然要反映在中考题中.

例1（2008年杭州各类高中招生文化考试19题）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程.

思路和解答：1.可通过列表归纳分析得到：

2.从凸八边形的每一顶点出发可以作出5条对角线，8个顶点共40条，但每一条对角线都对应两个顶点，所以有20条对角线.

例2（2008年湖北省咸宁市初中毕业生学业考试22题）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.

实验与探究

（1）由图观察得知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标：B′、C′ .

归纳与发现

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a, b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （不必证明）.

运用与拓广

（3）已知两点D（1，-3），E（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小并求出Q点坐标.

评析：该题由简到难，用类比法进行归纳、总结可得到具有一般性的结果，再运用这一结果求得直线上一点到两定点距离最小.

思路和解答 ：（1）如图：B′（3, 5），C′（5，-2）.

（2）（b，a）.

（3）由（2）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D′坐标为（-3，1），连接D′E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小.

设过D′（-3，1）、E（-1，-4）的直线的解析式为y=kx+b,则-3k+b=1,-k+b=-4. k=-,b=-.y=-x-.

由y=-x-,y=x.解得x=-,y=-.

所求Q点坐标为（-，-）.

练习题（2008年盐城市高中阶段教育招生统一考试26题）

阅读理解：对于任意正实数a, b, (-)≥0， a-2+b≥0, a+b≥2，只有当a=b时，等号成立.

结论：在a+b≥2(a,b均为正实数)中，若ab为定值P，则a+b≥2,只有当a=b时，a+b有最小值2.

根椐上述内容，回答下列问题：

若m＞0，只有当m=时，m+有最小值.

思考验证：如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CDAB，垂足为D，AD=a，DB=b.

试根椐图形验证a+b≥2，并指出等号成立时的条件.

探索应用：如图，已知A（-3， 0），

B（0，-4），P为双曲线y=（x＞0）上的任意一点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状.

答案

阅读理解：m=1时，最小值为2.

思考验证：AB是O的直径，ACBC.又CDAB，∠CAD=∠BCD=90°-∠B.

RtCAD～RtBCD, CD=AB•DB, CD=.

若点D与O不重合，连接OC，在RtOCD中，OC＞CD, ＞.

若点D与O重合时，OC=CD，=.

综上所述，≥, 即a+b≥2.当CD等于半径时，等号成立.

探索应用：设P(x, ),则C(x, 0), D(0, )，CA=x+3，DB=+4. S=CA×DB=（x+3）×(+4)，化简得：S=2(x+)+12.

x＞0, ＞0, x+≥2=6.只有当x=，即x=3时，等号成立.

S≥2×6+12=24.

S有最小值24.

此时，P（3, 4）, C(3, 0), D(0, 4)，AB=BC=CD=DA=5.

四边形ABCD是菱形.