数学建模与程序设计中交叉学科教学的研究

摘 要: 数学建模是用数学方法来解决实际问题的一项实践活动。在这过程中所遇到的问题极少是纯数学方面的问题,基本上都是交叉学科的问题。文章讨论了在不同学科中遇到的数学建模问题时如何设计程序,运用实例研究了综合运用概率统计、运筹学、图论、数论等知识的程序设计。

关键词: 数学建模 程序设计 交叉学科

1.引言

数学建模就是通过对实际问题的分析、抽象和简化,明确实际问题中最重要的变量和参数,并应用某些规律建立起变量、参数间的确定的数学问题(也可以称为一个数学模型),再用精确的或者近似的数学方法求解之,解释验证所得到的解,从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化和完善的过程。[1]数学建模是实践教学,而实践教学是培养学生创新精神和实践能力的重要手段,是提高学生综合素质的关键环节,是当前高校教学改革的重要内容。[2],[3]数学建模在一定程度上是一个学校大学生创造性思维及解决实际问题能力的一个指标。它正在全国乃至世界各大中专院校中受到教育机构的重视,也受到学生的青睐。就我国而言,教育部高等教育司已经在2002年确立了“新世纪高等教育教学改革工程本科教育教学改革立项项目”,即“将数学建模思想和方法融入大学数学主干课程教学中的研究与试验”。

数学建模是用数学方法来解决实际问题的一项实践活动。在这过程中所遇到的问题极少是纯数学方面的问题,基本上都是交叉学科的问题。在数学建模的教学过程中,要求教师传授的是数学建模的思维方法,如优化原理,评价方法,假设与现实的矛盾,等等,而不是某一具体问题的解决方案。

2.对称原理在有约束条件下对称方程极值中的运用

2.1连续问题建模与元胞自动机程序设计

许多学科中的问题都属于连续问题。建模时如果用与连续性相关的学科,如微分方程、微积分、偏微分方程等去解决,则需要较深厚的理论基础,这是我们学校学生的弱项。但有些连续问题可通过离散化处理为离散问题,如交通流、经济时间序列、动态规划等问题,这就可以考虑用元胞自动机来进行程序设计。但在具体实施时,因学科不同而导致程序设计方法不同。例如会出现元胞移动不按整数元胞格运行的情况。在2005年国际数学建模比赛的试题中即遇到了这样的问题,见问题1。处理的方法可以将非整数元胞格转化为元胞按概率移动的规则,这时就把概率知识应用于其中,不仅避免了复杂的理论证明过程,而且十分符合事理逻辑。这种方法是把交通、概率统计、程序设计等三个学科方面的问题综合到一起来考虑的,使得十分棘手的问题得到很好的解决。

问题1:设一批旅客在飞机过道上非匀速行进,如何用元胞自动机来描述他的运动?

图1(a)元胞在l轴上不匀速运动;(b)元胞在l轴上以概率p停止、以概率1-p行进

这显然可用一维元胞自动机来描述。但问题是元胞C并非按匀速运动,而一般情况下元胞都是按匀速运动来说明它的规律的。为了解决这个问题,可引入概率知识。如图1(b)中,元胞C以概率p停止、以概率1-p行进,则可方便用程序来执行。

2.2符号动力学建模与程序设计

混沌动力系统中寻找短周期轨道往往是非常耗时的,如文献为了寻找周期为10的轨道,编制的程序所耗计算机机时达半小时以上。这个模型可表示为问题2。其它学科中也有通过计算机枚举再筛选的问题,如果编制的程序不合适,则会导致计算机无法执行。这时利用数学原理事先作一些证明或推理会给程序设计带来很大的便利[4]。

问题2.设有两个符号时间序列C和D,其中

我们规定“1”比“0”大,若序列与的前个字符相同,而S的第n+1个字符比S的大,则顺序准则为S>S。任意可行序列S必须满足允字条件,即S中任意0的后继序列比D小,任意1的后继序列比C大。那么如何检测出周期为15以内的所有符号序列?

我在文献中,先证明了一个较简单的命题,即对于任意两个互素的正整数a,b∈Z,a,b>1存在非负整数m、n,使得任意不小于ab的整数c,都可以表示为am+bn=c(am+bn称作a、b的非负线性组合);再提出了单调1―基本字节和单调0―基本字节的概念并指出了它们的作用,克服了Sarkovskii关于连续整数周期点对于函数连续性的限制,而所讨论的Lorenz映射也没有作每个单调支为线性的要求。给出了一些例子中连续整数周期轨道的符号序列的算法与表达形式,所提出的算法效率高,并可在作相应变化后推广到其它动力系统中。这样编制的程序比国内外获得同样结果的时间缩短60%以上。

2.3图论中的网络问题与程序设计

网络问题是图论中重要的组成部分。但往往因为其路径与点的复杂关系而使程序设计变得很难。如问题3。

问题3.设一个无向图如图2。八个点彼此之间或者路径连通或者不连通(指直接关系)。请问从到有多少条路径?

图2中,边的一个数组表示两个点之间的连通关系,如边上的(0,1)表示从到是通的,反之则不通。

这个问题如果用不完全归纳法去编制程序,则计算量非常大,样本量是8之大。但我们可以将线性代数知识运用进去。首先我们可以编制一个矩阵V。V中表示到的连通情况。我们定义=0,是考虑到程序计算的方便。

我们注意到一个事实,即从到的一个路径应是以第一行中的1作为左上角数字、以第八列的1作为右下角数字的一个满秩子矩阵。有了这个线性代数的知识,我们编程就可以大大节省时间了。所得结果为: 3.结语

数学建模是一门综合性的、交叉性的实践科学,合理的程序设计会大大有利于问题的解决。而合理的程序往往需要多门学科的综合运用,才能使程序的运行变得可行。在数学建模程序设计的教学中要传授这种技巧,让学生养成综合运用各科知识来解决问题的习惯。

参考文献:

[1]文玉婵.数学建模竞赛与学生综合素质的提高[J].高教论坛,2006,(4):32.

[2]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教育,2002,(10):41.

[3]张英彦.实践教学的理论基础探析[J].中国大学教学,2006,(6):50.

[4]Z.Galias,puter assisted proof of chaos in the Lorenz equations[J].Physica D.,1998,115,(3):165.

[5]王福来,达庆利.Lorenz映射系统中连续整数周期轨道的存在性[J]. 东南大学学报(自然科学版),2008,38,(5):923.

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