高等数学高等在哪里

【摘要】 高等数学的核心“机密”在于在初等数学基础上引入了极限概念，使对数的认识从有限发展到无限，从而数学模式也从初等数学的静态跃升到了高等数学的动态.

【关键词】 初等函数；极限；微积分

高等学校的理工科专业都普遍开设一门基础课――高等数学，这是相对于中小学所学的初等数学而言的.如果对学过高等数学的学生提一个问题：高等数学究竟高等在哪里？恐怕很多人都难于给出言简意赅的回答.

其实，高等数学与初等数学研究的对象都是初等函数.初等函数是这样定义的：对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数这五类基本初等函数进行有限次四则运算与复合运算所构成的函数（且有具体表达式）称为初等函数.既然研究对象相同，那么差异究竟在哪里呢？根本的差异在于高等数学中引入了极限的研究工具，从而初等数学是一种静态的数学，而高等数学则成了一种动态的数学.

回顾从小学到中学是如何研究数学的呢？无非是循序渐进地引入了加、减、乘、除四则运算，因为四则运算的需要，数的范围也从正整数逐步扩充到负数、有理数；后来又引入了乘方、开方运算，数的范围也进一步扩充到无理数；再后来又引入了指数、对数运算及三角、反三角运算，应运而生出现了复数；将数的这些运算一环套一环，便是复合运算的概念.但这一切的运算都是静态进行的，我们称之为初等数学.

高等数学的核心“机密”是在初等数学基础上引入了极限概念，从而对数的认识从有限发展到了无限，但就是这种认识，使数学运算从量变飞跃到了质变，从静态飞跃到了动态.

举个例子.一根笔直的木头旗杆，每天从顶部锯掉留下高度的十分之一，10天后剩下多少？这个数学题小学生都会做，答案为：

（0.9）10=0.3486784401；

若将10换成100，算法照旧，即（0.99）100；若将10换成自然数N，只要，N是确定的具体数，仍然能算出 N-1 N N的具体数值，这种计算还是静态的.但当让N越来越大且趋于无穷大（比任何确定的自然数都大）时，这根旗杆能剩下多少？即使是对每秒亿次的超级计算机都变得英雄末路了，因为这种计算模式已经从静态跃升为动态，必须引入极限的概念才能解决.

极限中最简单直观的极限是数列极限，即考察一列数从有限发展到无限时是否在越来越无限靠拢某个目标，是否出现了质变.当然数学的术语是需要严格定量的，而不能只是模糊的定性.但抓住了极限的牛鼻子，对极限命题的量化就容易理解.对数列极限理解透了，理解函数的极限就游刃有余了.

函数的连续性本质上是一个极限概念：当函数f（x）在某点a的极限存在且正好等于函数值，即lim xa f（x）=f（a），即定义为f（x）在x=a点连续.

导数运算是什么？导数只是一种特殊类型的极限，即应变量增量与自变量增量比的极限.定积分运算是什么？又是一种特殊的极限，即由在某个区间上定义的函数构造的一个特殊的和式极限.如果说，微分、积分与极限的关系还有点雾里看花，那么无穷级数的求和与敛散性判断则是与极限直接挂钩了.可以说整个微积分学都是建立在极限这个平台上.

至于导数（或微分）计算公式都由两个重要的极限：

lim x0 sinx x =1及lim x∞ 1+ 1 x x=e.

推导演化而来.而不定积分则是微分运算的反运算而已.如果你初等数学的基础扎实，那么可以说学习微积分就赢在起跑线上了，只要掌握好极限概念及计算技巧，微积分的公式是很容易自己推导从而熟记它.

总之，只要把极限这个平台夯实夯牢，那么高等数学的教学便是在这个平台上长袖善舞的事了.