浅析高等数学函数的条件极值教学

【摘 要】条件极值是解决问题的有效方法，在我们日常生活中，很多问题都可以通过条件极值把问题简单化，从而有效地解决它，可以提高我们解决实际问题的效率。笔者在本文主要对求解条件极值的方法进行探究，并通过一些实例来加以阐述。希望能得到教学一线的教学能手的指导。

【关键词】高等数学 条件极值 拉格朗日乘数法 梯度法 标准量代换法

高等数学中的函数条件极值不仅在理论上有着重要的作用，而且在解决实际数学方面也起着非常重要的作用。笔者在本文主要对求解条件极值的方法进行探究，并通过一些实例来加以阐述。希望能得到教学一线的教学能手的指导。

条件极值是解决问题的有效方法，在我们日常生活中，很多问题都可以通过条件极值把问题简单化，从而有效地解决它，可以提高我们解决实际问题的效率。

我国学者对条件极值的研究也有很长的时间了，并且取得了一定的效果。2000年，王延源阐述了解决条件极值问题的几种有效方法。2009年，侯亚红通过例题详细介绍了判定多元函数条件极值的几种方法。 2010年，赵德勤、殷明讨论了如何用构建函数条件极值的方法证明不等式。

在高等数学教学中，极值问题和生活当中的最值问题密切相关，它受到数学当中的条件的限制，因此分为两大类：无条件极值和条件极值。本文略谈其求解方法。

一、拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是求条件极值最常见的方法之一。但是在使用这一方法时，一定要符合以下步骤：

务必要构建拉格朗日乘数法的辅助函数；2。在辅助函数构建后，找出它的稳定点就成为解题的关键之处，从而求得满足方程组的的稳定点；3。要考虑实际问题的意义，如果条件极值存在，那么该方程组的稳定点就是该函数的极值点。

例如：抛物面被平面截得一椭圆，求该椭圆上的点与坐标原点的最短和最长距离。

在使用拉格朗日乘数法去求解时，首先要构建它的辅导函数：

在应用拉格朗日乘数法求解条件极值时应注意，拉格朗日乘数法只是取得条件极值的必要条件。上述问题是在利用拉格朗日乘数法求出稳定点后，根据问题的实际意义来判断所求的稳定点是否为极值点。

二、梯度法

三、标准量代换法

求某些有多个变量的条件极值时，我们务必要选择一个量作为不变量，作为其它变量的参照量，我们也可称之为标准量，称其余各量为比较量，除了此两种量之外，辅助量也是必不可少的，辅助量在计算时起着不可替代的作用。在所用的量确定后，将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来，这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量.。

参考文献：

[1]王延源. 再谈条件极值的初等解法[J]. 临沂师范学院学报，2000，22（6）： 71-72

[2]侯亚红. 多元函数条件极值的几种判别方法[J]. 山西经济管理干部学院学报，2009，17（2）： 118-120

[3]赵德勤，殷明. 一个有趣不等式的新证明方法及推论[J].大学数学2010，26（1）：202.

作者简介：张环理（1963-），男，河南西平人，副教授，研究方向：数学理论与应用、信息系统理论与应用。