函数的概念教学设计

数学概念教学是数学教学的重要组成部分，数学概念教学的好坏直接影响学生后续内容的学习.因此，必须科学准确地把握数学概念教学的基本特征与操作模式.数学概念的掌握实质上是要理解一类事物共同的、本质的属性.有效的概念教学应引导学生从具体实例中抽象出数学概念，在初步运用中逐步理解数学概念的本质.文[1]指出，如同动植物一样，任何数学概念都是在一定的“坏境”与“土壤”中生长的，都有一个萌芽、成长、成熟的过程.数学概念生成式教学一般有以下六个环节：环节一，播种概念的种子――揭示概念产生的背景；环节二，概念种子的发芽――对典型的实例进行分析、比较，找出它们的共同特征；环节三，概念的破土而出――通过比较、概括、归纳、抽象，得到概念的本质属性；环节四，概念的命名――得出概念的数学化定义；环节五，概念的施肥浇水――用正反两方面的例题揭示概念的内涵与外延；环节六，概念的价值实现――运用概念解决实际问题.函数是高中数学的核心概念，是学习函数相关知识和基本初等函数的基础，是学生进入高中后感到比较难学的一个数学概念.下面是人教A版必修1第一章§1.2.1函数的概念的生成式教学，仅供参考.

一、揭示背景、播种种子

在初中，学生初步学过函数的概念（变量说），教师应把这个作为学生知识的生长点，结合具体实例形成高中函数的概念（对应说），使函数概念的重要本质特征被嵌入到他们的概念体系中去，从而构建学生良好的认知结构.

教师：在初中，我们学习过函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？

学生1：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.

（设计意图：数学概念往往具有系统性，复习初中函数的定义，为形成高中函数定义和比较初、高中函数定义做好铺垫）

教师：很好，这个定义是从变化过程中两个变量的关系角度进行定义的.下面我们先来看几个实例.

二、分析实例、种子发芽

实例1 一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是.（*）

问题1 （1）炮弹发射后2（s）炮弹距地面的高度是多少？发射后5（s），10（s）呢？（2）根据（*）式，从0（s）到26（s）的每一时刻炮弹距地面的高度唯一确定吗？

学生2：2（s）240（m），5（s）525（m），10（s）

800（m），每一个时刻t（s）h（m）（唯一的）.

实例2 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，

因而出现了臭氧层空洞问题.图1.2-1中的曲线

显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～20

01年的变化情况.

问题2 （1）1983年臭氧层空洞的面积约是多少？1991年，1997年呢？（2）根据图中曲线，从1979年到2001年每一时刻臭氧层空洞的面积唯一确定吗？

学生3：1983年，1991年，1997年，每一个时刻（年）臭氧层空洞面积（唯一的）.

实例3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表1-1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.

表1-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

城镇居民家庭恩格尔系数（%） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

问题3 （1）1992年恩格尔系数是多少？1995年，1999年呢？（2）根据表格，从1991年到2001年每一年的恩格尔系数唯一确定吗？

学生4：1992年52.9%，1995年49.9%，1999年41.9%，每一个数（年）恩格尔系数（%）（唯一的）.

（设计意图：在三个实例之后分别设计三个问题，能更好地揭示事物的共同属性，凸显函数概念的本质属性，有了“脚手架”，学生从实例中抽象出函数的概念就比较顺畅）

三、归纳共性、破土而出

教师：以上每个实例都可以看成一个变化过程，根据初中函数的定义，这三个都是函数.但是，随着学习的深入，仅从变化过程角度来定义函数有其局限性，例如：是函数吗？就很难回答.因此，我们需要从新的高度来认识函数概念，那么，如果去掉具体的问题情境，上述三个实例变量之间的关系有什么共同点？

学生5：都是两组数之间的一种对应，并且对于第一组中的每一个数，在第二组中都有唯一的数与它对应.

教师：很好，显然这两组数可以构成集合，我们称之为非空的数集，如果两个非空的数集之间有这种对应关系，我们就说是一个函数关系，下面，请同学们用两个集合元素之间对应的语言来定义函数的概念.（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理再表述，或者启示学生将表述补充完整再条理表述）

四、数学语言、概念命名

学生6：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f（x），x∈A.

教师：非常好！其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数的值域.

教师：那么，理解这个函数的定义，我们又应该注意些什么呢？

师生共同归纳：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应；②符号“f：AB”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、对应关系和值域，三者缺一不可；③集合A中的数具有任意性，集合B中的数要满足唯一性；④f（x）是一个符号，不能理解为f与x的乘积.

（设计意图：注意函数定义中的关键字，培养学生思维的严谨性）

教师：在研究函数时，除用符号f（x）表示函数外，还常用g（x）、F（x）、G（x）等符号来表示.下面，请同学们比较初、高中函数定义的联系和区别？

学生7：初中函数定义与高中函数定义本质是一致的，都是一种对应，高中的定义更加抽象，是两个非空数集之间的一种对应.

教师：是的.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的问题.y=1（x∈R）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有唯一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.

（设计意图：比较初、高中函数定义，使学生构建函数概念的知识体系，同时解决前面提出的问题，前后呼应）

五、概念内化、施肥浇水

例1 判断下面从集合A集合B的对应关系是不是函数？如果是，请指出它的定义域、值域和对应关系；如果不是，请说明理由：

教师：通过这个例子，你能发现函数的值域与集合B之间的关系吗？

学生8：函数的值域是集合B的子集.

例2 写出一次函数、二次函数和反比例函数的定义域、值域和对应关系，填入下表：

函数 定义域 值域 对应关系

（设计意图：函数的概念形成后要及时进行课内训练，以提高学生对新概念的认识和理解，明确概念的内涵与外延，促进新概念的内化）

六、运用概念、实现价值

例3 已知函数，

（1） 求函数的定义域； （2） 求，的值； （3） 当，求，的值.

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

解：略.

教师：解析式有意义通常有哪些情况？

师生共同归纳：当求用解析式y=f （x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

① 如果f （x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；② 如果f （x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于等于零的实数的集合；③ 如果f （x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分都有意义的实数的集合的交集）.

变式训练 求下列函数的定义域：

（1）； （2）.

例4 下列函数中哪个与函数相等？

； ； ； .

分析：若两个函数的“三要素”都相同，那么这两个函数肯定相等.

解：略.

教师：如果两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数是否相等？

学生9：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数必定相等.

变式训练 判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；

（2）和.

（设计意图：求函数定义域和判断两个函数是否相等是本节课的重要题型，应及时归纳解题规律）

参考文献：

[1] 李昌官.数学优秀课成长的基础、过程与方法[J].课程・教材・教法，2011（8）.

[2] 肖凌戆.高中数学概念教学的基本特征与操作模式[J].中学数学教学参考，2012（4）.

[3] 渠东剑.概念教学要突出抽象的过程[J].中学数学教学参考，2012（5）.

[4] 蔡勇刚.从认知规律例谈高中数学概念教学[J].中学教研（数学），2012（5）.