数学思想方法在解题中的运用

中图分类号：G623.5文献标识码：A 文章编号：

随着新课程标准的逐步实行，在考查学生基础知识和基本技能的同时，十分注重考查学生的思维能力，因此思维能力的培养显得尤为重要。事实上，只有掌握了数学思想方法，才能真正地掌握数学知识，才能将数学知识转化为能力，本文举例说明数学思想方法在解题中的运用。

一、分类思想

分类讨论可以使解题过程清晰明了，使解答更为严密完整，分类时要注意不重复，不遗漏。

例1 如果实数a、b满足（a+1）2=3-3（a+1）,3(b+1)=3-（b+1）2，那么 +的值为 。

简析本题对a=b，a≠b分类讨论，否则漏解。

解 显然a≠0，b≠0

当a=b时，+=2

当a≠b时，由条件a+1，b+1是x2+3x-3=0的两根，由韦达定理可得：

a+b=-5，ab=1，从而

+==23

二、转化思想

我们都熟知，古时候有“司马光砸缸”和“曹冲称象”的故事，他们考虑问题有标新立异的构思，解决问题时别出心裁的方法。今天我们解决许多数学问题都需要这种创新思维，而创新思维的重要方面就是转化思想通过转化使问题变得简单、明白、易解。

例2、已知0＜a＜1，-1＜b＜0则下例四个数最大的数是

（A）、a+b（B）、a-b（C）a+b2 （D）a2+b

分析乍看这类字母问题似乎不知如何下手，其实用符合条件的“特殊值”代入各个选择项计算，则可轻松获解。

不设防a=0.5 ，b=-0.5。代入计算便可发现应选答案B。

注：这种思考方法在解决某些填空题，往往能快速正确地求出答案，一般地代数题，可用特殊值，几何题特殊点考察比较方便。这就是将一般转化为特殊。

例3 已知（-1）=2 求a+b的值

分析在本题中若想，求出a、b的值，这是很难的，但若把a+b看成一个整体，设=t，则方程可化为非常简单的一元二次方程t(t-1)=2，容易求出t，从而求得a+b的值。这就是将局部转化为整体。

三、换元思想

换元思想是指通过变元或式表示，代替或转换为某些确定的数学对象，将数学问题化繁为简、化难为易，从而达到化未知到已知的终极目标的一种思维倾向。

例4 若A=，B=3636×3638，比较A、B的大小

分析直接通过数值计算来比较将会繁杂，由观察可知乘积中的四位数因数具有明显的结构特征和联系，能否具有一般规律，不妨元元试之

解由对称结构，可设3637=a，则

A－B=

－（a-1）(a+1)

=－（a2－1）

=（a2－10）－（a2－1）= －9＜0

A＜B

例5 解方程2（x－ ）2+=7x-6

分析直接化为整式方程，将得到一个高次方程，通常是较难求解的，如果能将原方程适当变形，通过换元来解就显得容易多了。

解 原方程可变形为2（x－ ）2－7（x－ ）+6=0. 设x－ =y，则方程化2y2-7y+6=0，解出y后再代入y=x-－ 中求x（下略）

四、方程思想

算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式依据问题中的数量关系，算式中只能含已知数而不能含未知数。列方程也依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破，正因如此，一般来说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。

例6 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积

此题可直接求阴影部分或先求空白部分而求得解答，这是算术解题思想的体现，如果将阴影部分与空白部分联系起来考虑，运用方程思想，可建立以下方程组：

解出x即得结论。

例7 化下列循环小数为分数

化循环小数为分数，常用极限知识（无穷等比数列各项的和）去解决，这超出了初中数学的知识范围，这里用方程去解显得更为简洁。

解 设=x=100x，即23+=100x23+x=100xx=，

即=

数学还有数形结合，类比函数思想等等，只要我们平时学习时留意观察，勤于思考，就能培养良好的思维品质，不断提高我们解决问题的能力。

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