混凝土冲击寿命的统计分析论文

1威布尔分布模型、秩和顺序统计量简介

威布尔分布模型是瑞典科学家WaloddiWeibull于1939年提出的一种概率密度分布函数类型，它包含有3个参数，分别为位置参数、形状参数和尺度参数。威布尔分布的优点在于它适用于小样本抽样及它对各种类型实验数据极强的适应能力。若随机变量T服从3参数威布尔分布，则其概率密度函数为。式中，β＞0为形状参数，η＞0为尺度参数，γ≥0为位置参数，记作T～W(β，η，γ)。当β=1时，为指数分布;当β=2时，为瑞利分布;当β在3～4之间取值时，接近于正态分布，可见威布尔分布适应能力强、覆盖性强。当γ取值为零时，即为双参数威布尔分布模型。顺序(或次序)统计量是数理统计学中具有广泛应用的一类统计量。设X为一总体，将一容量为n的样本观察值x1、x2、…、xn按自小到大的次序编号排列成:x(1)≤x(2)≤…≤x(n)，称x(1)、x(2)、…、x(n)为顺序统计量;称x(i)的足标i(i=1，2，…，n)为x(i)的秩或秩序数，当出现某些观察值相等时，将足标i的平均值作为这些观察值的秩。

2实验概况及结果

2．1原材料、配合比水泥为天津水泥股份有限公司生产的骆驼牌P•O42．5普通硅酸盐水泥;实验所用砂为天然河砂，细度模数为2．6的中砂;石子选用连续级配的碎石，粒径5～20mm;水为普通自来水。水灰比为0．49，砂率为36%，实验配合比见表1。

2．2实验方法和结果试件采用课题组自行设计的U型混凝土试件，(采用U型试件能够预先确定试件开裂的位置，利于实验结果的观察和记录，提高可预知性［10］。)其尺寸为:两个矩形长脚其长×宽为85mm×50mm，厚度为65mm;半圆形拱的内外半径分别为85和135mm。U型试件的成型采用自制的钢制模具，同时为了减少人为因素造成的影响，采用质量控制的方法严格控制U型混凝土试件间的差异性。试件成型后24h脱模，并放入标准养护室养护28d。并在进行抗冲击实验前4h从养护室把试件取出，并将外表面擦拭干净、晾干。根据目前已有落锤冲击实验的基本原理和思路，实验采用本课题组自制的、带有滑轨和钢制底座的自由落锤抗冲击装置，如图1所示。落锤采用高强钢材制作而成，取其4个质量水平分别为0．875，0．8，0．675和0．5kg，实验时，落锤的冲击高度为400mm。应变片的粘结参照文献［12-13］，将应变片粘贴在混凝土U型试件几何中心底部受拉区的中部，以及侧表面的上边缘处，粘贴应变片时先用砂纸将试件贴片处的表面打磨平整，并用酒精将其擦拭干净，然后粘贴应变片。实验时将该侧表面面对观测者，并将应变片与动态数据采集系统相连接。冲击实验的过程、裂缝的观测及冲击次数的判断，参照文献［13］和［14］中附录D的方法进行:将试件放在落锤的正下方，并将自制的落锤从一定的高度自由落下冲击试件，至冲击后落锤完全静止;每完成一次冲击即为一个循环，如此反复多次，仔细观察试件表面，当试件从无裂缝到产生第一条微裂缝时，即试件底部受拉区的应变值发生突变时，记录下此时的冲击寿命，即为初裂冲击寿命N1;当试件底部裂缝向上发展并将贯穿整个截面时，记录下此时的冲击寿命，即为破坏冲击寿命N2。每组12个试件，共48个试件，其冲击实验结果如表2。

3冲击寿命的Weibull分布分析

3．1冲击寿命的威布尔描述鉴于冲击实验破坏机理与疲劳实验破坏机理的相似性，参照文献［9］中威布尔分布关于疲劳寿命的描述，将威布尔分布理论用于冲击寿命N的概率统计分析。若冲击寿命N服从3参数威布尔分布。在上述式(3)和(4)中，N0、Na、b3个参数分别对应着γ、η、β，即分别代表最小冲击寿命参数、尺度参数和形状参数。并注意到，当冲击寿命N的随机取值为Na时，利用上述式(4)，可求得F(Na)=1－1/e=0．632，为固定值，与其它参数值的大小无关，此时冲击寿命Na也被重新标度为特征冲击寿命参数。并且当最小冲击寿命参数N0的取值为0时，3参数威布尔分布变为双参数威布尔分布。

3．2威布尔分布检验累积失效概率函数为F(N)，则生存概率函数(或可靠性函数)的表达式为。可见，若X和Y之间存在近似的线性关系，即相关系数R2较大时，则可以证明双参数威布尔分布可以合理的描述U型混凝土试件的抗冲击寿命参数。并可以由线性回归分析，得出参数b、bln(Na)和相关系数R2的值。验证过程分成两步来实现，首先，将冲击实验中每一组试件的抗冲击寿命参数(N1，N2)按顺序统计量的形式从小到大排列，并给出未排列前原始实验数据所对应的秩序数i;然后用F(N)和R(N)的期望估计来原始3参数威布尔分布公式(1)中的参数(β、η、γ)进行重新标度，并考虑到混凝土材料在冲击实验中存在最小冲击寿命的问题，令b=β，Na－N0=η，N0=γ，即T～W(β，η，γ)变为N～W(b，Na，N0)。则在同一落锤质量水平作用下，各U型混凝土试件冲击寿命N的分布规律可以由以下概率密度函数表示。对于冲击实验结果表2中的冲击寿命(N1，N2)，按照上述方法及公式(7)，以Y=ln{ln［1/R(N)］}为纵坐标，X=ln(N)为横坐标，通过最小二乘法进行线性回归分析，得到在4种落锤质量水平下的回归直线图及对应的回归参数b、bln(Na)和相关系数R2的值分别如图2和表3所示，其拟合所得直线斜率即为双参数威布尔分布的形状参数b。由上述分析及图2和表3可见，其相关系数R2的值均大于0．9，所以X=ln(N)和Y=ln{ln［1/R(N)］}之间存在明显的线性关系，即上述公式(7)成立，从而证明双参数威布尔(Weibull)分布可以合理地描述混凝土的初裂冲击寿命(N1)和破坏冲击寿命(N2)。

4结论

(1)鉴于混凝土抗冲击实验数据的离散性，将混凝土的抗冲击寿命N看作一个随机变量，利用概率统计的原理对其进行分析描述，可以更加合理、准确科学的评价其抗冲击性能。(2)U型试件混凝土的初裂冲击寿命和破坏冲击寿命的概率分布，可以很好地用双参数威布尔分布理论进行描述和分析。得到的实验数据及分布规律能够为进一步研究混凝土的断裂、冲击等破坏过程提供参考。

作者：朱学超朱涵李浩然单位：天津大学建筑工程学院天津大学滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室