高中数学几何模型的应用

摘 要： 几何模型是数学建模的重要工具，它是针对具体实物建立起来的，即可在生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题.合理使用几何模型将使原本复杂的问题简单化，有事半功倍的作用.它的应用非常广泛，本文从平面几何、立体几何、解析几何三个方面入手，分析如何建立几何模型，并通过例题阐述几何模型所涉及的若干数学思想.

关键词： 数学模型 数学建模 几何模型 数形结合

在丰富多彩、变化万千的世界里，人们经常创建出现实物体的近似结构，作为原型的替代物，并称之为模型.而数学模型则是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.但建立数学模型并非以模型为目标，而是为了解决实际问题.

在生产和生活中的空间物体的结构是极其复杂的，要将其转化为数学模型问题，首先要对空间物体进行简化和假设，并把空间图形“抽象”出来.如一座山，不看其表面的山棱岩石，而将其“轮廓”抽象出来，其“轮廓”就是锥体.其次要善于归类，一个几何问题，往往可以从不同的角度加以研究，从学科的角度出发，就可分为平面几何、立体几何、解析几何.所以几何模型的应用是很广泛的，地位是举足轻重的.下面我就从平面几何、立体几何、解析几何三个方面介绍几何模型的具体应用.

一、平面几何数学模型

利用数与形的相互依赖和相互转化的关系发掘平面几何图形的形象、直观、具体等特性，以及图形的优美性质，是我们借助平面几何模型处理代数、三角、平面几何等问题的关键.

例1：运用直观几何能帮助理解、解决有关代数的问题，利用具体操作说明与变量有关的代数概念.

思考：画一个正方形，在这个正方形底边上的某处做一个记号把底边分成两段，左边的一段记为a，右边一段记为b，类似地分正方形其他各边，如图所示.问：下边的哪些性质可用图表现出来？这里a，b都是正数，且a>b.

（1）（a-b）（a-b）

（2）（a-b）（a+b）

（3）（a+b）（a+b）

（4）（a+b） （你将需要想象一个三维物体）

分析：考虑计算这个正方形面积的各种方法，当正方形的边长为（a+b）时，面积为（a+b）（a+b）.它是由面积为a和b的两个小正方形和面积为ab的两个长方形组成，即（a+b）（a+b）=a+b+2ab.

由此可见，（a+b）表示棱长为（a+b）的正方体的体积，等于底面积乘以高，即（a+b）=（a+b+2ab）（a+b）=a+b+3ab+3ab.

图中阴影为边长（a-b）的正方形，其面积为（a-b）（a-b），它是由面积为a的正方形减去两个面积为（a-b）b和一个面积为b的小正方形，即（a-b）（a-b）=a-2b（a-b）-b=a+b-2ab.

而（a-b）（a+b）表示的面积是由阴影部分的正方形面积与两个面积为（a-b）b的小长方形的和，即（a-b）（a+b）=（a+b-2ab）+2b（a-b）=a-b.

二、立体几何数学模型

同一个数学问题，往往可以从实际生活中获取相类似的原型，并且可以化归为相同模型去解决.在研究此问题之前，我们先做下面的实验：用两张相等的长方形纸张，分别沿长边和短边卷成圆柱体，用胶布将接头不重叠粘住，分别计算出圆柱体的侧面积.可以很快得出：S=S.

判断两圆柱体体积的大小，并计算出来.通过实验，我们可以得到一个结论：侧面积相同的两个圆柱体，其体积不一定相同.

由此，我们可联想到各种圆柱体形状的罐装饮料，这些饮料年产量高达几百万罐，甚至更多.那么考虑在相同的工艺条件和保证质量的前提下怎样节省用料的问题，从而降低生产成本.

例2：怎样使饮料罐制造用材最省.

分析：把饮料罐假设为正圆柱体，虽然有很多的饮料罐不是这样的，这样的假设是合理、近似的简化.设饮料罐的体积V，高为h，底面半径为r，制罐铝材厚度为b，在诸多因素中，暂时不考虑制造工艺中要求的折边长度.

解：因为每罐饮料的体积是一样的，所以可以把V看成一个常数，有V=πrh.

又由于易拉罐上底的强度大一些，厚度是其他部分厚度的3倍，因而制罐用材的总面积为S=3πrb+πrb+2πrhb=（4πr+2πrh）b.

故饮料罐的总面积就只与h，r有关，把h=代入S，得S=S（r）=2πb（2r+）.

则用料最省的问题就转化为求半径r使得S（r）达到最小的问题，通过计算得出饮料罐高h为半径r的4倍.

事实上，当我们拿可口可乐、百事可乐罐测量时，圆柱体的高与底面半径的比几乎与上述结果一致.

三、解析几何数学模型

平面解析几何模型主要包括了曲线系模型，如双曲线、抛物线、椭圆等各种曲线的应用模型.

例3：在相距为10a（其中a为声速）的A、B两处观察所中听到同一爆炸声的时间差为6秒，且记录显示了B处的声强是A处的4倍（声强与距离的平方成反比），试确定爆炸点到两观察所的中点的距离.

分析：如图，以AB的连线为x轴，AB间的中点为原点O作直角坐标系，从爆炸点到两点的距离差值可以把它抽象为双曲线解析几何模型.

解：假设爆炸点为P，由题意有

||PA|-|PB||=6a，|AB|=10a，

|PA|=4|PB|，即|PA|=2|PB|，

则双曲线的模型为-=1且爆炸点P在双曲线上.

综合以上条件，解得P点的坐标为a，a.

故爆炸点P到两观察所AB的中点O的距离|PO|=.

换一个角度思考，当我们把两个观察所A、B和爆炸点P连线成为一个三角形，此问题也可转化为三角模型问题.

在中学里学习与建立几何模型，涉及许多的数学思想，综合上面的例子，现总结出若干要点如下。

1.一个几何问题可以是纯粹的数学问题，也可以是现实的数学问题，总可以从现实世界中找到问题的原型.如例2，在定体积的条件下，求解空间物体最小的总面积.只有把生活问题数学化，体现生活中的数学，才能引发学生的学习兴趣.

2.由于几何问题的复杂性，解决一个数学问题可以有各种不同的角度，如例3，用解析几何模型求距离的问题在某种情形下也可转化为三角模型问题.

3.从横向的观点看，几何问题与其他的数学知识是相互联系、相互转化的.一个几何模型，可以用方程、不等式、函数等知识来解决；相对的，一个数学问题也可以通过建立几何模型来表示，如例1用图形面积表示代数式.

4.数形结合的思想是几何模型的最大的特色，建立几何模型正是对空间物体的抽象概括，用图形代替实物结构，把实际问题数学化.上述各例都是数与形的转化与结合.