求函数值域的方法

求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。注意：求值域要先求定义域。虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：

一、1.直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R，值域为R；

反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；

二次函数 的定义域为R，

当a>0时，值域为{ }；当a

例1：求函数 的值域。

解： ， ，

函数 的值域为 。

例2：求函数 的值域。

（注意：开口方向；区间与对称轴的关系）

解 顶点横坐标2 [3，4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

在[3，4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].

三、中间变量法：函数式中含有可以确定范围的代数式。

例3：求函数 的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 （定义域优先原则），对函数进行变形可得

，

，（特殊情况优先原则） （ ， ），

， ，

函数 的值域为

例4：求y= （1≤X≤3）的值域。

解：y= ? x=

1≤X≤3 1≤ ≤3 ? y∈[ ， ]

四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例5：求函数 的值域。

解：（此处要先求定义域） ，

， ，函数 的值域为 。

五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 、 、 均为常数，且 ）的函数常用此法求解。

例6：求函数 的值域。

解：（求值域先求定义域）令 （ ）（引入新元要标注范围），则 ，

（ ）（你看：没有标注范围的话这里就会出错）（再利用数形结合法）

当 ，即 时， ，无最小值。

函数 的值域为 。

点评：对于形如 （ 、 、 、 为常数， ）的函数，我们可以利用换元法求其值域，同时还利用了图像法。特别注意：引入新的变量时要标注其范围。

六、判别式法：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式 ，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零且定义域为 ）的函数的值域，常用此方法求解。

例7：求函数 的值域。

解：定义域为：

由 变形得 ，

当 时，此方程无解；（特殊情况优先）

当 时， 说明方程至少有解， ，

解得 ，又 ，

函数 的值域为

点评：（1）此法适用 ≠0）型的函数；

（2）在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论；

（3）有两种情况不采用此法。（一是X有限制；二是分子分母有公因式）

七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例8：求函数 的值域。

解：（求值域先求定义域）当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，函数 在定义域 上是增函数。

，

函数 的值域为 。

八、数形结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

例9：求函数 的值域。

解： ，

的图像如图所示，

由图像知：函数 的值域为