求函数值域的十种方法

时间:2022-09-06 07:02:06

求函数值域的十种方法

摘 要: 函数值域是函数的重要性质之一,有关函数值域的问题教材中介绍得很少,而求函数的值域较求定义域更困难、更灵活,没有较完整较规范的方法,所以学生难以掌握。本文借助初等函数等有关知识,归纳出十种求函数值域的方法。

关键词: 函数 函数值域 方法

1.观察法

对于一些简单的函数,可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域,这叫观察法。

由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合,因此首先要考察函数结构。在此基础上,从定义域出发,逐步推断出函数的值域。

例1:求函数y=(x-3)的值域。

解:函数定义域为-1≤x<1,又≥0,x-3<0,y≤0,即函数值域y∈(-∞,0]。

2.反函数法

如果函数在定义域内存在反函数,而求函数值域又不易求解时,可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解,叫反函数求函数值域的方法。

即由y=f(x),反解出求函数x=f(x),原函数值域包含在f(y)的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立,分析正确,并注意在反解过程中保持同解性。

例2:求函数y=+,x∈(0,1]的值域。

错解一:y=+≥2,函数值域y∈[2,+∞)。

剖析:当x=(0,+∞]时,结论x=[2,+∞)才是正确的。但当x∈(0,1),这个结论就不可靠了。

错解二:y=+?圳x-2yx+4=0,

x∈R,4y-16≥0,解得y≤-2或y≥2。

函数值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)。

剖析:以上求出的结果,只能是x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时函数的值域,解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件,而x∈(0,1]的值域用“判别式法”是无法解决的。

正解:(反函数法)y=+?圳x-2yx+4=0,

x∈(0,1],y≥2,y+≥2(1),方程(1)的根只能是x=y-,由0<y-≤1,解得y≥,函数值域为[,+∞)。

3.转化法

利用已知值域的函数或所给函数的定义域,作为“媒介”,将待求值域的函数式变形。通过适当的运算,求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题,常能化难为易。

例3:求函数y=的值域。

解:由函数表达式得:2sinx+ycosx=3-y?圳sin(x+θ)=3-y,其中θ由sinθ和cosθ=确定。

|sin(x+θ)|≤1,()≥(3-y)?圳y≥,即原函数值域y∈[,+∞)。

4.不等式法

运用不等式的性质,特别是含等量的不等式,分析等号成立的条件,以确定函数值域,叫不等式求函数值域的方法。

例4:已知α∈(0,π),求函数y=sinα+的值域。

错解:α∈(0,π),sinα>0,>0,sinα+≥2=2,函数值域为[2,+∞)。

剖析:由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”,但因|sinα|≤1故sinα≠,因此上式不能取等号,至少应有y≠2。

正解:α∈(0,π),sinα>0,>0,sinα+=sinα++≥3≥3。

当且仅当sinα=,即sinα=1时,上式能全取等号。

小结:用“不等式法”求函数值域,主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”,但须注意取等号时条件是否能得到满足。

5.最值法

由于初等函数在其定义域内是连续的,所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值,最小值的办法,并求函数的值域。

例5:求函数y=的值域。

解:由函数定义域知,cosx∈[-1,-)∪(-,1]。

(1)当cosx∈[-1,-)时,y=x+=1-(-1),()=-1,注意到cosx?邛(-),y?邛-∞-∞<y≤-1。

(2)当cosx∈(-,1]时,(1+2cosx))=-1,()=,注意到cosx?邛(-),y?邛+∞,≤y<+∞。

故函数值域为(-∞,-1]∪[,+∞).

一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。

6.判别式

根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时,=b-4ac≥0。的性质,求函数值域的方法叫做判别式法。

例6:求函数y=2x-7x+3的值域。

解:2x-7x+3-y=0,且x∈R,=b-4ac=49-8(3-y)≥0,y≥,该函数值域为[,+∞).

此法可用于行如:y=(A,P不同时为零,分子分母无公因式)的函数的值域。但必须强调:(1)是既约公式;(2)验证端点值是否能取到;(3)整理成行如一元二次方程的形式后,若平方项系数含字母要讨论;(4)若定义域人为受限,则判别式法失效。

7.换元法

通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。

例7:已知函数f(x)的值域是[,],求y=f(x)+的值域。

解:f(x)∈[,],≤f(x)≤,故≤≤。令t=,则t∈[,]。有f(x)=(1-t),y=g(t)=(1-t)+t=-(t-1)+1,由于g(t)在t∈[,]时单调递增

当t=,y=,当t=,y=,

y=f(x)+的值域是[,].

8.图像法(数行结合法)

通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点,勾画出函数的大致图形,从而确定函数的值域。

例8:求函数y=|x-1|+x的值域。

解:原函数可以表达成:当x≤-1或x≥1,y=|x-1|+x=(x+2)-;当-1≤x≤1,y=|x-1|+x=-(x+)+。

作出函数图像(见图1)

由图像知函数值域为[-1,+∞)。

9.单调性法

利用函数单调性,先求出函数的单调区间,再求每个区间上函数的值域,最后取其并集即得函数值域。

例9:求y=x-的值域。

解:y=x和y=-均为单调增函数,

y=y+y=x-为增函数,由定义域x≤知y=,故y≤.

10.配方法

如果给定一个复合函数,y=f[g(x)],若g(x)或f(x)可以视为一元二次多项式,则要用配方法求其函数值域。

例10:求y=x+的值域。

解:y=x+=1-(-1),在定义域x≤内,显然有(-1)≥0,y≤1,函数值域为(-∞,1]。

本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起,在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法,但解法大致相同,如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然,本论文求函数值域的方法不是一成不变的,应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。

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