求函数值域常用的方法

内容摘要:函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,应用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在研究函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用方法的,它不像定义域有一定可依据的法则和程序,因此要根据问题的不同特点,综合而灵活地运用各种方法求之。下面列举几种函数值域求解的常用方法。

关键词:函数;值域;方法

中图分类号:G623.5文献标识码:A

函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,应用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在研究函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用方法的,它不象定义域有一定可依据的法则和程序,因此要根据问题的不同特点,综合而灵活地运用各种方法求之。下面列举几种函数值域求解的常用方法。

一、观察法

对于一些简单函数,可通过对于函数定义域及对应法则的观察分析求值域。

例1:y=1-|x|

解:|x|≥0 y≤1 故所求的值域为(-∞,1〕

例2:求函数 的值域

解:

故值域为(-∞,1)∪(1,+∞)

注:若观察出函数是单调函数,则可利用函数单调性求值域。

二、判别式法

用判别式求(a1,b1,c1,a2,b2,c2皆为常数,a1、a2不同时为零)型函数值域时分两种具体情况:

1.当分子与分母有公因式时,这时,可先约去公因式后再求值域,但须除去使公因式为零的x所对应的y值。

例3:求函数的值域

解:由

可知y≠1/2,同时因x≠2,故y≠3/2

所求值域为{y|y∈R且y≠1/2,y≠3/2｝

2.当分子与分母无公因式时,使用判别式求值域时,先转化为含参量y的一元二次方程,但要从判别式求出的结果中除去关于x的一元二次方程的二次项系数为零且又使方程无实数解的y值。同时要注意弄准函数定义域,并要检验边界点能否达到,否则可能得到错解。

例4:求函数的值域

解:经检验分子、分母无公因式,把原式变形:

(y-2)x2+(y-2)x+y-3=0①

显然y≠2(若y=2,则方程①为-1=0不成立,y≠2)

y∈R方程①有实根的充要条件

y≠2

{=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,得2y≤10/3

故所求值域为(2,10/3〕

三、配方法

适用于求二次函数和与二次函数有关的函数值域

例5:求函数y=x2+4x+3(X∈〔-1,0〕的值域

解:y=(x+2)2-1-1≤x≤0

当x=-1时,ymin=0,当x=0时,ymax=3

故所求值域为〔0,3〕

注:用配方法可求二次函数在指定区间上值域时,切勿直接套二次函数的最值公式,因为这时最值未必在顶点处取得。

例6:求函数y=sin2x+cosx+1=1-cos2x+cosx+1

=-cos2x+cosx+2=-(cosx-1/2)2+9/4

-1≤cosx≤1当cosx=1/2时,ymax=9/4

当cosx=-1时,ymin=0

y∈〔0,9/4〕

四、反函数法

利用反函数定义域求原函数值域

例7:求函数 值域

解:函数的反函数为y=log2x/(1-x)且定义域为

(0,1)故函数值域为y∈(0,1)。

五、换元法

1.形如y=x+b± ,(、b、c、d皆为常数,且、c不为零)。

例8:求函数y=2x-3+值域

解:由4x-13≥0得x∈〔13/4,+∞〕

令t= (t≥0)则x=

于是y=2 -3+t=2/1(t+1)2+3≥7/2

即所求函数值域为〔7/2,+∞)

2.三角代换

3.如(,b,c,d均为常数,且c≠0)

①>0,c

③>0,c>0,与④

例9:求函数 值域

解:设

则:2s2-t2=11①

s-t=y②

函数值域转化为方程①与②在直角坐标平面内有公共点时,y取值范围。

方程①可化为( t≥0)

此方程图象是双曲线,在第一象限部分,方程②的图象是斜率为1,在t轴上的截距为-y的直线,由图可知:

故所求函数值域为(-∞,〕

注:本题例12方法也可以解决函数

f(x)=的值域问题,只是转化为椭圆与直线有公共点时,直线在t轴上的截距问题。

六、不等式法

利用某些重要不等式,结合等号成立条件,得出函数值域。

例10:求函数值域

解:此函数定义域为(1,+∞)设

μ=

=(x>1,x-1>0)

上式当且仅当 即x=3取等号,即y=log2μ≥2

故所求函数值域为〔2,+∞)

七、最值法

对闭区间〔a,b〕上的连续函数,可求出y=f(x)在区间〔a,b〕内极值,并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数最值,可得到函数值域

八、单调法

确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数值域。

九、数形结合法

画出函数图象,利用图象直观得出函数值域。

例11:求函数y=|x-3|-|x+1|值域

解:设y=|x-3|-|x+1|

-4(x≥3)

=2-2x(-1≤x≤3)

4(x≤-1)

的图象如右图

故值域为〔-4,4〕

总之,在具体求某个函数值域时,首先要仔细认真观察其题型特征,然后再选择适当方法,做题就会得心应手,取得事半功倍的效果。

参考文献:

[1]厉以宁,秦宛顺.现代西方经济学概论[M].北京:北京大学出版社,1983

[2]黎诣远.西方经济学(上册)[M].北京:清华大学出版社

[3]李种,现代西方微观经济学概论[J].北京:高等教育出版社,1995

[4][美]H•范里安.[M].上海:上海三联书店,上海人民出版社,1994

[5]朱建中,高汝熹.数理经济学[Ml武汉:武汉大学出版社,1992

作者简介:

秦慧珍(1969.3- ),女,山西省隰县,本科,中学一级教师。