浅析求函数值域的几种常用方法

求函数的值域是函数中的一个重要内容, 在历年的高考试题中经常出现，但教材中对求函数的值域所举例题较少，为此许多学生对求函数值域感到很困难，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样。若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就这个问题，举例说明几种比较行之有效的求函数值域的方法。

一、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1 ：求函数y=3-■的值域。

解：因为■≥0，

所以-■≤0，3-■≤3，

故函数的值域是: （-∞,3]。

二、图象法

利用函数的图象，直观地得出函数的值域。此方法广泛应用于一些分段函数的值域和求二次函数在闭区间上的值域。其关键在于能否准确作出函数的图象。

例２：求函数y＝x■-x-6（如图所示）,x∈-2,4的值域。

解：由函数图象得所求函数的值域为-6.25,6.

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。其关键在于能否正确地将二次函数式配成完全平方式。

例３：求函数y=■的值域。

解：由-x■+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函数的值域是0,■。

四、判别式法

若函数式为分式结构，分子分母均为二次式，且函数的定义域为R，则可用此法.通常先将分式转化为一元二次方程，再由?驻≥0，确定y的范围，即得原函数的值域.

例4：求函数y=■的值域。

解：函数的定义域为R（?驻=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函数化为关于x的一元二次方程为(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以

（1）当y≠1时，?驻=(1-y)■-4y(y-1)≥0，

解得-■≤y≤1。

（2）当y=1时，1≠0，故y≠1。

综上，原函数的值域为[-■,1)。

评注：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域.常适应于形如y=■的函数。

五、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，常用代数代换或三角代换法，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均为常数，且ac≠0）等。

例5 ：求函数y=x+■的值域。

解：令■=t(t≥0)，则x=t■+1，

所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，

由二次函数的性质可知原函数的值域为[1,+∞)。

六、函数单调性法

首先确定函数的定义域，然后再根据函数在给定的区间上的单调性求值域.常用到函数y=x+■(p＞0)的单调性：增区间为(-∞,-■]和[■,∞)，减区间为[-■,0]和[0,■]。

例6：求函数y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。

解：令y■=2■，y■=log■■,

则y■,y■在[2，10]上都是增函数,

所以y=y■+y■在[2，10]上是增函数。

当x=2时，y■=2■+log■■=■；

当x=10时，y■=2■+log■■=33，

故所求函数的值域为：■,33。

例7：求函数y=x+■,x∈(0,5]的值域。

解：原函数的导数为y＇=1-■，其单调递增区间为[■,+∞)，单调递减区间为(0,■]，故原函数在x=■处取得最小值2■，在x=5处取得最大值■，所以原函数的值域为[2■,■]。

七、分离常数法

此方法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,如y=■（a,b,c,d是常数，且ac≠0），这时通过拼凑,将分子进行常数分离。

例8：求函数y=■的值域。

解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。

评注：此题也可利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域，即反函数法。

八、函数有界性法

利用函数的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因为sinα≤1,x■≥0，可解出y的范围，从而求出其值域或最值.

例９：求函数y=■的值域。

解：由原函数式可得e■=■，

e■＞0，

■＞0，

解得-1＜y＜１。

故所求函数的值域为(-1,1)。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接观察法，函数单调性法和图象法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

【责编　冯立伟】