例谈求函数值域的常用方法

时间:2022-09-17 03:15:53

例谈求函数值域的常用方法

函数的值域是函数值的集合,它是由函数的定义域与对应关系确定的。求函数值域问题是高中数学的重点和难点,也是高考的热点,因此,考生要熟悉并掌握常用的求函数值域的方法。下面列举几种求函数值域的常用方法。

1.观察法

从函数解析式观察,利用如等,直接得出它的值域.

例1.求函数的值域.

解:由得,所以函数的值域为.

2.分离常数法

对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题,因为分子分母都有变量,利用函数单调性确定其值域较困难,因此,我们可以采用凑配分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式,而此时的分式,只有分母上含有变量,进而可利用函数性质确定其值域.

例2.求函数的值域.

解:分离常数,得,,,函数的值域为.

3.配方法

主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

例3.求函数的值域.

解:配方,得,又,结合图象,知函数的值域是.

4.判别式法

对于形如(,不同时为)的函数常采用此法,就是把函数转化成关于的一元二次方程(二次项系数不为时),通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零,求得原函数的值域.

例4.求函数的值域.

解:原函数可化为关于的一元二次方程.

(1)当时,,,解得;

(2)当时,,而.故函数的值域为.

5.换元法

有时候为了建立已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向,这就是换元法.在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.

例5.求函数的值域.

解:令,则,,

,当时,函数取得最大值,所以函数的值域为.

6.反解法

就是用来表示,利用其变形形式求得原函数的值域.

例6.求函数的值域.

解:函数可化为,可得,所以原函数的值域为.

7.单调性法

单调性法是求函数值域的常用方法,就是利用我们所学的基本初等函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域.

例7.求函数的值域.

解:此题可以看作和,的复合函数,

显然函数为单调递增函数, 易验证亦是单调递增函数,

故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为.

当时, 取得最小值.当时, 取得最大值.故而原函数的值域为.

8.数形结合法

对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题,我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况,再有的放矢地通过函数解析式求函数最值,确定函数值域,用数形结合法,使运算过程大大简化.

例8.求函数的值域.

解:将原函数的解析式中的绝对值去掉,得,

作出图象(如右图),显然.

所以函数的值域是.

9.基本不等式法

利用基本不等式和求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取等号成立的条件.

例9.求函数的值域.

解: ,当且仅当时等号成立.

故函数的值域为.

10.导数法

若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在,点的极限值. 从而求得的值域.

例10.求函数的值域.

解:显然在可导,且. 由得的极值点为.

易得在上单调递减,在上单调递增,

比较 ,,得在上的最小值为,最大值为4.

所以函数的值域为.

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