揭秘函数值域(最值)的求解方法

时间:2022-08-19 08:53:48

揭秘函数值域(最值)的求解方法

函数值域的求解,不仅是高一数学的重要内容,也常常是将来我们解决一些数学综合大题的最后一道“坎”,对于不少同学来说,这往往又是一条难以逾越的“鸿沟”.我们不妨先来看一个错解案例.

从这个例子中我们发现,对于同一个对应法则的函数,不同的定义域可能会引起函数值域的改变(即使值域没有改变也应视为不同的函数).更为关键的是,当定义域是连续变化的数集时,值域就是连续变化的数集,当定义域是离散的数集时,那么相应的值域也就相应变成了离散的数集.这就说明,尽管函数的值域是由定义域和对应法则共同确定的,但值域本身的连续或离散的特性只是由定义域本身决定.

我们平常要求的函数的值域大多数都是定义在连续数集上的函数,以下我们所研究的话题如未作特殊说明均基于此.从函数值域定义可以发现,要求出所有的函数值是不现实的,我们只能求出有限的几个,那么究竟要求出几个呢,聪明的同学当然想到了,只需求出函数值中的最大和最小的就可以了.随之而来的问题是,是不是所有的函数都有最大和最小值呢,这些最值又是在哪里取到的呢?

要想弄清这点,我们还得从函数最值的概念说起.对于函数y=f (x),其定义域为x∈D,如果同时满足:①对于任意的x∈D,均有f (x)≤M;②存在x0∈D满足f (x0)=M,则称实数M为函数的最大值,最小值的概念只需将条件①中的不等号调整为“≥”即可.从形的角度,函数的最大(小)值就是函数图象上最高(低)点对应的纵坐标.这里其实已经揭示了函数值域的一个求法:图象法.

当然,我们不可能每次都通过图象来解决,而且也不必如此.我们的目标是图象的最高(低)点,而这是由函数的单调性决定的.对于一个定义在闭区间上函数而言,如果它在定义域内单调,那么它的最大(小)值就在区间端点处取得;如果函数在定义区间内某点x=x0的左右单调性发生改变,该点称为极值点,相应的函数值f (x0)称为相应的极值,则函数的最大(小)值就在区间端点及极值点处取得.特别值得一提的是,如果该区间内仅有一个极值点,那么在该点处取得的极值必为相应的最值.

到这里我们就不难明白前面给出的错误案例中同学错解的原因了,他知道要去求函数的最值,但是不清楚函数的最值并不一定在定义区间的端点处取得.正确的解答应该是:

现在我们应当清楚,函数值域的最根本的求法就是单调性法(图形求解的数化);我们要想跨越“函数值域求解”这道鸿沟,只需做到下面两点:①熟悉常见基本初等函数(一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、勾形函数等)的单调性;②能利用配凑、换元等手法将复杂的函数化归为基本初等函数.

例2(2011江苏卷17)请你设计一个包装盒,如图1所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V (cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

给出本例的目的在于提醒学生注意:通过换元法解决函数值域问题时,重心不能仅放在如何将目标函数转化为新的目标函数(基本函数)上,而忽视了新元(即新函数的自变量)的取值集合(即新函数的定义域)对最终的求解也有着至关重要的影响,顾此失彼,最终会功亏一篑.希望学生抓住函数值域是由对应法则和定义域共同确定这一本质,顺利越过这道“坎”,走向成功彼岸.

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