中考数学中的归纳与猜想问题解析

新课程标准要求学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.中考数学试题越来越灵活，近几年涌现出了一大批令人耳目一新的新题型.而归纳与猜想题型因其能培养学生的发散思维能力与解决问题的能力而备受命题专家的青睐，逐步成为中考的热点.归纳与猜想指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题.解题思维过程：从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论.归纳与猜想型的问题综合性强，知识覆盖面广.渗透的数学思想方法主要有：特殊与一般的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、类比的思想等.本文通过举例总结归纳解答这类题型的方法与技巧.

考点一归纳猜想计算结果

当研究一个抽象的问题而难以解决时，可先通过特例，用具体数字代替字母，通过实验、观察，对这些问题的性质进行归纳得出结果，再猜想原问题的规律和性质.

例1请你观察下列计算过程：

因为112=121，所以121=11；

因为1112=12321，所以12321=111；

……

由此猜想：12345678987654321=.

分析：观察被开方数121，12321，…，这些数字都是从两边的1开始，往中间依次递增的对称型数字；而121=112，12321=1112，…，即121，12321，…的算术平方根分别是11，111，…，它们全部由1组成，1的个数与被开方数中从两头到中间的位数一样.根据这个规律，可以归纳猜想.

解：因为

1111111112=12345678987654321，

所以12345678987654321=111111111.

点评：归纳包括完全归纳和不完全归纳.用完全归纳法得出的结论一定正确，用不完全归纳法得出的结论不一定全正确，需要检验.

练习1观察规律：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+…+2017的值是.

考点二归纳猜想数字特征

例23的正整数次幂：

31=332=933=2734=81

35=24336=72937=218738=6561

归纳各计算结果中的个位数字的规律，可得32016的个位数字为多少？

分析：通过计算结果发现3的正整数次幂的个位数字有每4次一个循环的规律，并且32016=3504×4，因此32016的个位数字为1.

解：32016=3504×4，34的个位数字为1.

32016的个位数字为1.

点评：本例从具体到抽象，从单一到开放，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握猜想的数学思想.

练习2将一组数3，6，3，23，15，…，310，按下面的方式进行排列：

3，6，3，23，15；

32，21，26，33，30；

……

若23的位置记为（1，4），26的位置记为（2，3），则这组数中最大的实数的位置记为（）

A.（5，2）B.（5，3）

C.（6，2）D.（6，5）

考点三观察猜想数式的规律

解答此类问题的常用方法是：（1）将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；（2）按规律顺序排列这些式子；（3）将发现的规律用代数式或等式表示出来；（4）用题中所给数据验证规律的正确性.

例3观察下列各式：

2×4=32-1，3×5=42-1，4×6=52-1，…，10×12=112-1，….

将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：.

分析：观察等式，可发现规律：等式左边是两个连续偶（奇）数的积，右边是夹在这两个连续偶（奇）数中间的奇（偶）数的平方与1的差.

解：n（n+2）=（n+1）2-1（n≥2且n为正整数）.

点评：通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征.

练习3观察下列各式的计算过程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

……

请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为.

考点四归纳与猜想图形的规律

观察猜想型试题主要考查识图、判断、推理的逻辑思维能力和观察猜想能力.可按要求，先观察，后大胆猜想，小心验证，用公式表示的结论，一定要注明字母所表示的数.

例4图1是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，第4个图案由13个组成……则第n（n为正整数）个图案由个组成.

分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可.

解：观察发现：

第一个图形有3×2-3+1=4个三角形；

第二个图形有3×3-3+1=7个三角形；

第一个图形有3×4-3+1=10个三角形；

……

第n个图形有3（n+1）-3+1=（3n+1）个三角形；

故答案为（3n+1）.

点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化.

练习4图2是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n（n>1）盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是.

考点五归纳猜想规律分式或方程

例5（1）如下表：方程1，方程2，方程3，……是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：

序号方程方程的解16x-1x-2=1x1=x2=28x-1x-3=1x1=4x2=6310x-1x-4=1x1=5x2=8……………………（2）若方程ax-1x-b=1（a>b）的解是x1=6，x2=10，求a，b的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？

（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解.

分析：通过解方程1不难求出x1=3，x2=4.将x1=6，x2=10代入方程ax-1x-b=1，易求a=12，b=5.本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系.

解：（1）解方程6x-1x-2=1，得x1=3，x2=4.

（2）将x1=6，x2=10代入方程ax-1x-b=1（a>b），易求得a=12，b=5.

（3）第n个方程是2（n+2）x-1x-（n+1）=1，它的解是x1=n+2，x2=2（n+1）.

练习5给定下面一列分式：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，…（其中x≠0）.

（1）把任意一个分式除以它前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.

考点六归纳猜想函数关系

例6如图3，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC，AD.

（1）求点C的坐标及抛物线的解析式.

（2）将BCH绕点B按顺时针方向旋转90°后再沿x轴对折得到BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由.

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q.问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：本题存在探究性体现在第（3）问中.认真观察图形，假设存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分，猜想点P的存在性.

解：（1）四边形OBHC为矩形，CD∥AB.

又D（5，2），

C（0，2），OC=2.

n=2，

12・52+5・m+n=2.

解得m=-52，

n=2.

抛物线的解析式为y=12x2-52x+2.

（2）点E落在抛物线上.理由如下：

由y=0，得12x2-52x+2=0.

解得x1=1，x2=4.A（4，0），B（1，0）.

OA=4，OB=1.

由矩形性质，得CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°.

由旋转、轴对称性质，得EF=1，BF=2，∠EFB=90°.

点E的坐标为（3，-1）.

把x=3代入y=12x2-52x+2，得y=12・32-52・3+2=-1.

点E在抛物线上.

（3）如图4，存在符合条件点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a-1.

图4S梯形BCGF=5，S梯形ADGF=3.设S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2.

下面分两种情形：

①当S1∶S2=1∶3时，S1=14（5+3）=2

②当S1∶S2=3∶1时，S1=34（5+3）=6>5，此时点P在点F（3，0）的右侧，PF=a-3.EPF∽EQG，QG=3a-9.CQ=3+（3a-9）=3a-6.S1=6，12（3a-6+a-1）・2=6.解得a=134.

综上所述，所求点P的坐标为（94，0）或（134，0）.

点评：本题从已知条件出发，综合运用函数知识，数形结合，探究出结论成立.

本题属中考中的函数综合性开放题，除了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力，涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点.善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（不等式）问题，往往是解题的关键.

练习6我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）.

（1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1，1）时，a=；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是.

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b.

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形的边长.

参考答案

1.10180811=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，

1+3+5+…+2017=（2017+12）2=10092=1018081.故答案为1018081.

2.D

3.[10（n-1）+5]2=100n（n-1）+25

4.S=3n-3每条边（包括顶点）有n（n>1）盆花，而三角形有三条边，因此，三条边上的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去.S=3n―3.

5.（1）-x5y2÷x3y=x7y3÷（-x5y2）=-x9y4÷（-x7y3）=…=-x2y，

任意一个分式除以它前面一个分式恒等于-x2y.

（2）已知的一列分式分母依次为y，y2，y3，…，第7个式子的分母为y7.分子的指数是分母指数的2倍加1，第7个式子的分子为x15.第奇数个为正，第偶数个为负，第7个分式应该是x15y7.

6.（1）-1；a=-1m（或am+1=0）.

（2）a≠0，y=ax2+bx=a（x+b2a）2-b24a.顶点坐标为（-b2a，-b24a）.顶点在直线y=kx上，k（-b2a）=-b24a.

b≠0，b=2k.

（3）顶点An在直线y=x上，

可设An的坐标为（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）.

由（1）（2）得点Dn所在的抛物线解析式为y=-1tx2+2x.四边形AnBnCnDn是正方形，点Dn的坐标为（2n，n）.-1t（2n）2+2×2n=n.4n=3t.t，n是正整数，且t≤12，n≤12，n=3，6或9.满足条件的正方形的边长为3，6或9.