高中数学开放题的教学设计及教育价值

【摘要】 开放题是最富有教育价值的一种数学问题的题型，好的数学开放性试题，能够充分体现出新的教育教学理念，加大教改力度，对教学的目标和学生的学习发展方向是具有指导意义的。

【关键词】 数学；开放题；教学设计；教育价值

数学开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是指能引起学生发散性思维的一种数学试题，它的条件、问题变化不定型，有的条件隐蔽，有的条件多余，有的结论不一，有的解法多种等。开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。开放题是最富有教育价值的一种数学问题的题型，其类型包括条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型、实践开放型、设计开放型、信息开放型、解法开放型、情景开放型等。

1 数学开放性试题的设计原则

1.1 思维性原则；开放性试题的设计应对教材进一步去补充和拓宽，挖掘教材内容的思维因素，从而构建基础性的训练与探索性、思维性训练相结合的习题体系，培养学生思维的深刻性、发散性和创造性。

1.2 开放性原则；开放性试题的设计要有利于开放学生的思维，让学生认识到数学不仅仅是狭隘的数学知识本身，它是我们广泛联系、认识世界、改造世界的有力工具。

1.3 层次性原则；根据学生的个性发展及差异性，设计开放性试题应讲究梯度，由浅入深，拾级而上，螺旋上升，层层开放，在评分标准上要体现这一原则。

1.4 合理性原则；开放性试题的设计应立足于教材内容与学生的基础知识，符合学生的认知规律，注意避免不从客观实际出发的主观主义和追求形式的做法。

1.5 实用性原则；设计开放性试题要紧密联系生活实际，多设计一些面向生活的开放题。把生活问题提炼为数学问题，调动生活经验用于数学问题的创造性活动积极性，以利于学生运用所学知识解决实际问题，体会数学的实用价值，体验数学知识来源于生活，又服务于生活的真谛。

1.6 趣味性与新颖性原则；开放性试题的设计要具有吸引力，出题的形式与角度有新意。

2 数学开放性试题的实例分析

案例一：

（1） 这是我在给高一学生上平面向量这一章节的复习例子，我是先展示例子，然后让学生观察例子，请他们依自己的能力设计题目再解答。

（2） 十几分钟后，我把学生设计的题目收集并整理，再展现出来。

（3） 让学生抄下并交流后，请几位同学回答他们设计出来的题目。

（4） 我再认真讲评和总结学生设计的题目并说明所用到的知识点。

（5） 然后要求学生课后互相交流，再设计类似的题目并归纳总结本单元的知识结构。

例：已知ABC的三个顶点坐标分别为A（4，5），B（0，2），C（6，4），G是ABC的重心，D、E、F分别是三角形中边BC，边CA，边AB的中点，设 ，。请根据你对本单元知识的掌握情况设计题目并写出解题过程。

（1）求α+b，α-b，α・b，α-α，α・α，|α-b|，|α+b|

（2）以向量α，b为一组基底来表示AD及CG即（AD=λ1α+λ2b ）

（3）求AB在BC上的投影

（4）求G点的坐标

（5）求sinA : sinB : sinC

（6）证明ABC是钝角三角形，求出∠A的大小

（7）求GE+GF+GD的值

（8）求证：DF//GD

（9）若P点在边AB所在的直线上，求|CP|的最小值，并求出它取最小值时，点P的坐标

（10）求BGC的面积

（11）求证A、B、C三点不共线

（12）求证四边形ACDF是一个梯形

（13）求证sinB < cosC

（14）求BC边上的高AH

（15）求AC的模

（16）求证ABC的三条中线交于点

（17）求AG : BG : CG

（18）若ABC按α=（-1，2）平移后，得A′B′C′，求A′，B′，C′的坐标。

这些题目都是在教师引导学生从问题条件、问题情节及要求等方面作各种变化后，学生设计的,如果再结合空间向量知识就可以设计含量更多更有深度的题目,要是让高二高三的学生设计，他们一定会结合不等式，立体几何，直线与圆的方程等知识点设计更多的题目，进而提高他们的综合能力。

案例二：写一段小作文来说明右图中的图像所对应的函数的实际意义。

【设计意图】函数概念的形成，一般是从具体的实际例子开始的，但在学习数学中的函数概念时，往往较少考虑实际意义。本题旨在通过学生根据自己的已有的知识经验和生活实例给出函数的实际解释，体会到数学概念的抽象性和背景的多样性，从而领悟数学的实用价值，体验数学知识来源于生活，又服务于生活的真谛。

【部分分析解答】给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释。我们从物理、生活等方面来考虑给出一些例解：

（1）x表示时间（单位：s ）, y表示速度（单位：m/s ），开始计时后，物体从静止状态做匀加速直线运动，加速度为m/s2，10s 后做匀速运动；20s 后物体以－0.5m/s2的加速度做匀减速运动到40s 未停下。

（2）有两小汽车，在某点处由静止开始运动，在前10分钟时，它以匀速行进了10公里，然后到汽车美容店里停留了10分钟来美容，最后它用20分钟时间以匀速回到原地。

（3）一位送货司机驾驶一辆货车送货，他在10秒钟内把汽车从0米／秒匀加速到10米／秒，然后他保持这样速度驾驶10秒钟后，发现汽车有故障，于是他在20秒内汽车做匀减速运动，并且停车检查故障。

（4）一个金鱼缸可装10升水，开始以1升／秒的流量向鱼缸加水，10秒后鱼缸的水加满，然后加入消毒剂消毒鱼缸10秒，最后以0.5升／秒的流量倒掉鱼缸的水，用去20秒。

3 数学开放性试题教育价值：

3.1 开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围。教学过程是教师与学生，学生与学生多边活动的过程。教学活动能否顺利进行的前提条件是教师与学生，学生与学生之间是否相互沟通。如果离开学生的主动参与，整个教学过程难以畅通。由于开放题答案的不唯一性和解题策略的多样性，就为教师与学生、学生与学生之间实现交流，为学生表达自己的观点和解题策略提供了很多的“参与时机”。又由于开放题的层次性，为全体学生，特别是中、下学生提供了很大的“参与空间”。又由于开放题的探索性，为学生提供了较好的“参与深度”。使得每个学生都认为自己解决了这个问题，找到了答案。正因为如此，学生不再是一个依赖教师的模仿者，这种新颖的师生关系给学生提供了一个民主平等的教学氛围，这种氛围有利于充分调动和发挥学生的非智力因素，激活学生学习的内驱力，并且促进了教师与学生，学生与学生之间相互理解，学会换位思考，使教和学相得益彰。

3.2 开放题的教学有利于学生体验成功，树立信心。心理学告诉我们：在人的心灵深处都有一个根深蒂固的需要，这就是自己是一个发现者、探索者、创造者和成功者。由于开放题起点低，层次多，答案不唯一，策略多样化，就使得学生很容易“下手”。中、下学生也常常能找到几个答案。学生只要找得一个答案或一种解答策略，这个学生就体验到一次成功。只要学生不断去追求成功，感受成功，他们就会逐步树立解决问题的自信，对数学的学习产生兴趣，就能为数学教学质量的提高带来不可估量的效果。

参考文献

[1] 戴再平《高中数学开放题集》

[2] 廖延芳《数学“新课标”与教学“好题型”――数学开放题教学刍议》

[3] 韩绍祥 魏国栋《试教通讯》

[4] 陈松宇《数学课堂教学中学生发散思维能力的培养》

收稿日期：2008-03-01

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”