数学课堂教学的杀手锏之“引申触类”

[摘 要] “引申触类”出自龚自珍的《上大学士书》，即“天下事有牵一发而全身为之动者，不得不引申触类及之也”.意思是说：从某一事物上可推广到同类的其他事物之上，知其一便知其二. 这可运用在数学课堂教学中，让学生连点成线，将繁杂的知识点归纳成无数个集合、群体，好懂、好学、好记，触类旁通.

[关键词] 人教；初中数学；课堂教学；引申触类

一堂精彩的数学课应是伸张的，而不应是蜷曲的，所谓“伸张”是说数学课堂要有由内到外的张力和弹性，如弓之开合，要形成一个知识的延续，引申触类. 所谓“蜷曲”就是拘泥于一个狭小的知识领域，只看到知识的本身，而忽略知识的外延，换句话说就是捡起一个个琐碎的点，放到盒子里，而非将这一个个点串成一条晶莹的项链，那么这些琐碎的知识点有极大的可能被学生遗忘直至丢失. 所以，教师应该亮出“引申触类”这道杀手锏，让学生在数学的领地战无不胜、攻无不克.

追“点”溯“源”，引申触类

追本溯源，无论实体的物质世界还是虚体抽象的知识和精神世界，它们都要经历一个从无到有的过程，这就是老子在《道德经》中所说的：“一生二，二生三，三生万物”. 婀娜多姿的世界是人类智慧的结晶体. 如果单纯地从字面上理解，二和三是在一的基础上生发的，“一”是万事万物的根基，如果切断“一”这条经脉，那么象征着万事万物的“二”和“三”就会盲目生长或濒临枯萎. 就如同人类一样，内心总会怀有追寻起初、找寻源头的情结. 对于数学领域来说也是如此，知道知识的起源，才能抓住它本身的特点，洞彻地分析出它的走向和发展路径. 而且在就一个知识点进行分析的时候，我们也会意外地获得与这一知识点类别相同的分支径流，这样一来，由所学的知识点追寻到它的起初源头，又由这一源头引将开去，找寻到与此相关同类其他知识的蛛丝马迹，这就是我们所说的追点溯源、引申触类. 这从某种角度来说既拓宽了学生的眼界，又培养了学生的发散思维. 此外，追点溯源就如同在数学课堂的知识上安放了一个追踪器，学生可以随同这一知识点发掘到自身感兴趣的东西，增强数学课堂的趣味性和人文性.

人类社会当中，数是如影随形、无孔不入的东西，几乎从咿呀学语起我们就开始接触它，但是弱水三千我们只取得知识的一瓢来饮用，而忽略其根源，将知识的本源剥离出生活. 由此，我们的知识视野变得狭窄和片面，生活走向呆板和游离. 数学课堂上亦是如此，升学压力抑制了教师的自我发挥，课堂教学开始流于大众化，人云亦云，缺乏创意，管窥蠡测，使学生只会浸泡在数学知识中学数学，缺乏全面俯瞰数学知识脉络的能力，数学知识的学习与生活实际断轨. 综上来看，教师不得不采取另一种讲解视角，将数学知识很好地展铺在学生面前. 以有理数这一课堂教学知识点为例，有理数是对数进行归类的一个类别形式，诠释人类对数的认知范畴的扩大. 可以说，在数的海洋中，有理数只是沧海一粟、冰山一角，而课堂是为学生提供广阔学习空间的地方，单一既定的知识点并不能满足学生的求知欲. 况且，对单一知识点的腾空诉说会让学生没办法对“数”进行全面的认知. 所以，教师既要追本溯源，找寻这一知识点发展的根源，又要做一次知识点的延伸，触及这一知识集合中的其他子集. 关于对有理数的讲解，要先从数的诞生讲起：人类祖先过着几十个人一起的群居生活，他们靠着捕杀野兽飞禽、采摘植物为生. 在长期的生活中，他们为自己的所需不断发挥主观能动性，于是语言产生，数的朦胧概念也萌发. 他们狩猎归来，猎物的获得不既定，于是就出现了“有、无”这两个概念. 后来，群居发展成部落，“有”这一概念也被肢解成四部分，即“一”“二”“三”“多”，但后来，人们开始了农耕的生活方式，计数更为准确和多样. 随着生活方式的不断变化和发展，“数”逐渐诞生及趋于完善. 于是引申开来，自然数、整数、有理数、实数、复数等从单纯的“数”中分离出来，形成一个个种类. 所以教师在讲解有理数的时候，要寻根求源，引申触类，将课堂的知识点丰盈起来.

归“点”集“群”，引申触类

数学知识就如同海滩上的贝壳，而学生则是捡拾这些贝壳，将其穿成贝壳项链的孩子，他们总在进行归点集群这样的活动. 该活动的进行并不是徒劳的，学生既在这上面获得了乐趣，又在无意识的情况下为这些流浪着、杂散的知识找到了自己的“祖籍”，就像人类一样，具有相同血统的知识被归纳在一起，形成一个知识群体，这样更容易让学生牵动知识的一发，而动知识的整体. 此外，知识群是由同类知识点相互聚集而形成的，点属于群，群包括点，由点可以窥一斑而见全身，由群可以见一类而知一点. 所以，教师可以先让学生确定一点，然后由这一知识点引申开来，触及同类的其他知识，并将这些知识圈集起来，形成一个知识群. 由于知识群体的个别知识间的性质等是密切联系的，可以共同被用于解答相同的一道题，这也就为学生对数学的学习开通了一条便利之路. 在对数学知识进行归点集群的过程中，学生也会对所学的数学知识进行反复的理解、记忆.

人类在认识事物之后，首先想到的是将与事物有关的知识分享给其他人，那么如何让其他人细致入微地理解所认识的事物呢？分享者提纲挈领将认识的事物的形态、结构、性质、原理等用只言片语描述出来，这就是所说的定义. 读者，分析其法，自然也明白事物的一二. 而对于数学课堂知识来说，对定义、定理、公式的分析占主要部分. 但在教学过程中，教师也将其比喻成一个个机器，如何了解机器的构造及工作情况、工作原理，这也是教师需要传授给学生的. 一般来说，教师总会将类似于机器的定义等分解成一个个零件，这所谓的一个个零件便是知识的点. 以有理数概念教学为例，有理数是整数和分数的统称，任何有理数都可写成分数（m，n都是整数，且n不等于0）的形式. 分散在有理数概念中的是多个与之相关的知识点. 所以，在明白这一机器的运行方式，即有理数概念的真正含义之前，教师必须让学生了解与之相关的分散在定义当中的知识点，然后再归点集群. 有理数是整数与分数的统称，一切有理数都可化为分数的形式，其中包括整数及分数的概念，教师要让学生了解这些，才能知道有理数的真正含义.

由“点”启“下”，引申触类

讲课就像写文章一样，要有开篇、发展、结尾. 所谓开篇，就是导入语，是课堂教学得以有条不紊发展下去的一个引子，必能起到领起的作用. 但有些教师几乎将这一步骤省略，直入课堂接下来所要讲解的内容，使学生觉得要学的内容如冰雹突如其来，没有做好接受的心理准备，于是快节奏的授课方式将更多的学生落在后面，这极不利于有效教学的实现. 所以，教师应将导入语这一环节重视起来，找到一个与课堂主干内容休戚相关的点，再以这个点为发源地，由其引出其他更重要的知识点. 从记忆规律来看，某件事出现在我们的大脑中，而通过无意识下本能的联想，我们又自然地想到与这件事相联系或相类似的其他事情. 知识的学习亦是如此，我们不能将知识孤立在“荒岛”上，而不寻求其与外界的联系. 在数学课堂上，教师应利用教材中前后知识点的密切性，由一点承上启下、引申触类.

以有理数运算的知识教学为例，首先有理数运算要涉及有理数的概念、运算规律等，这些知识都位于有理数运算之前，是学生必须扎实掌握的. 但是，我们有遗忘周期，学过的知识在我们的脑海中也许只剩下一点点的痕迹，而学生未曾觉察到这一点，他们学过一课往往还没来得及消化就开始接受新的知识了. 为了更好地温习旧课，将新课和旧课无缝连接，使知识间形成承上启下的关系，让学生有效记忆，教师需在讲解新课时将有理数运算所需掌握的有理数概念、运算规律重申给学生，让学生由点启下、引申触类. 例如，a，b是有理数，a + b等于a+b吗？举例说明. 首先，有理数是整数和分数的统称，任何一个有理数都可写成分数的形式，这一点对于该题来说只是一个无关痛痒的条件. 影响这道题正误的是学生对绝对值的了解，所以在解题之前，教师要让学生了解绝对值. 对于此题，a，b同号或者至少有一个为零时成立，而当a，b异号时不成立.

万物得法才能生荣，知识也是如此，在数学课堂中，教师不能以一说一，将数学知识看成是顽石等不能生长的东西. 教师要教会学生点石成金的能力，看到知识的无边和联系性，从而引申触类，将课堂丰富起来.