提高初中生解答数学开放型题能力浅析

【内容摘要】数学最终目的是为了培养学生分析问题和解决问题的能力。提高学生的数学题解题能力是一项艰巨的任务，不能急于求成，更不能盲目地搞题海战术，要讲求质量，讲求效益，逐步使学生的思维能力由单向性发展为多向性。让学生在解题过程中获得乐趣，悟出解题的正确思路和方法。

【关键词】 数学；开放型题；提高解题能力；学法指导

课程改革以来，数学开放题逐渐成为中考的热点，各地每年都有不同程度地出现这种类型题。从学生答题情况看，开放题得分率普遍较低。所以教师在教学活动中，要加强学法指导，加强针对性训练，尽可能提高学生解答此类题目的能力。

一、开放型问题分类及特点

纵观数学开放题，常见的有条件开放型，结论开放型，策略开放型，综合开放型等四种不同类型的问题。

（1）条件开放型：条件开放题主要特点是条件不充分，一般采用"执果索因"的方法，需要学生根据所掌握的知识进行逆向思维。解题思路一般是，由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式，这类开放题在中考试卷中较多出现在填空题。

例1．如图，∠DAB=∠CAD，请添加一个条件： ，便得ΔDAB≌ΔCAB。

解：AD=AC，可用边角边证全等；∠ADB=∠ACB，可用角角边证全等；∠ABD=ABC，可用角边角证全等。

（2）结论开放型：结论开放型的解题方法是充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维，这类开放题在中考试卷中，一般出现在解答题型中。

例2．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，为该图象的对称轴，根据这个图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？写出四个即可。

解:①顶点在第四象限；②与x轴有两个交点；③a>0；④与y轴交于负半轴；⑤-1

例3．如图O的弦AB、CD的延长线相交于点E.请你根据上述条件，写出一个结论（不准添加新的线段及标注其他字母）并给出证明。(证明时允许自行添加辅助线)

解： ①连结AD、BC，证ΔADE～ΔCBD

证明：连结AD、BC，∠EAD=∠ECB，∠E=∠E

ΔADE～ΔCBD

②连结AC、BD，证ΔACE～ΔDBE

③AE×BE=CE×DE

（3）策略开放型：策略开放题只给出一定的问题情景，条件，解题策略，结论中的两个或全部都要求学生在情景中自行设定和寻找。策略开放型也称设计方案型，这类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验，创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决。这是一种综合性思维，这种类型的开放题在中考试卷中一般出现在阅读题、作图题和应用题中。

例4．如图，在ΔABE和ΔACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③AM=AN；④ADDC，AEEB.以其中三个论断为题设，填入下面的"已知"栏中，一个论断为结论，填入下面的"求证"栏中，使之组成一个真命题。

已知：如图，在ΔABE和ΔACD中， 。求证： 。

分析：对此题，必须先引导学生找出三组全等形，即ΔADC≌ΔAEB，ΔAMC≌ΔANB，ΔADM≌ΔAEN，再恰当运用三角形全等的判定和性质定理进行创造性思维，才能得出正确解答。

解：

①已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AD=AE，AM=AN，ADDC，AEEB

求证：AB=AC

②已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AD=AE，ADDC，AEEB

求证：AM=AN

③已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AM=AN，ADDC，AEEB

求证：AD=AE

二、开放型题解题策略，思想方法

解题时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜想出结论或条件，然后严格证明，同时，通常要结合以下数学思想方法，分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建模型等。

1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想。数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程。因此,化归思想在数学中无处不在，化归思想在解题教学中的的运用可概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简。从而达到知识迁移使问题获得解决。

2.分类与整合思想:是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想。但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求，在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分；按公式或定理的适用范围划分；按运算法则的适用条件范围划分；按函数性质划分；按图形的位置和形状的变化划分；按结论可能出现的不同情况划分等。

3.函数与方程思想:就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想。

4.数形结合思想:将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系)；或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系,使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本数学思想。

总之，开放型题应分类型教学，让学生清楚解题思路，所用思想方法。要有针对性的学法教育，要有针对性的训练。

参考文献

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[2]谢雅礼.对构建数学"探究式"课堂教学模式的实践与认识[J]

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