如何学习集合

摘 要：挥别中考，迈入高中。首先遇到的就是集合。集合在高中数学里面是一个比较重要的内容，有着一定的地位。运用集合的思想去解决数学问题，已经是广大师生常用的解题方法，集合的思想在高中数学里面是基础，和许许多多的高中数学内容互相关联、密不可分。集合语言可以更加全面地分析数学，使数学问题简单化，对学生理解数学和解决数学问题有着一定的积极作用。

关键词：学习；集合；思想；教育

一、运用数形结合的思维方式去学习集合

在数学教学手法之中，数形结合属于主流，应用数形结合的思想，可以解决不少的集合问题。在集合的运算过程中，就可以用数轴、Venn图来处理集合的交集、并集、补集之间的关系，从而使问题更加清晰，简单明了。能否熟练将数形结合的解题思想去解决数学问题，是能否学好数学的一大关键。例如，看Venn图，求出A∪B、（CUA）∩B、（CUB）∩A、CU（A∪B）。

如上图所示，可以得出。

U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

A={2，3，4，7，8}

B={1，2，4，5}

A∪B={1，2，3，4，5，7，8}，A∩B={2，4}，CUA={1，5，6，9，10，11，12}

CUB={3，6，7，8，9，10，11，12}，（CUA）∩B={1，5}，（CUB）∩A={3，7，8}

CU（A∪B）={6，9，10，11，12}

{（CUA）∩B}∩{（CUB）∩A}=？椎

从表面上看，“数”与“形”看上去似乎是孤立的，但实际上，它们之间常常有着千丝万缕的关系，数与形之间往往都是一一对应的。通过图可以将抽象复杂的数量关系直接简单地表达出来，将数学问题简单化，从而更容易去学习数学知识，也更深入去学习数学知识。因此，在解决数学问题的时候，应该多从图形下手，展开联想，从多方面、多角度思考问题，带着问题去找答案，做到真正的数形结合。

二、运用分类思想去解决数学集合问题

分类思想，就是按照数学对象属性、性质、关系等不同，将其分成不同类别，按不同的方式去研究。一般地，同一类型的数学题的解决方法也大同小异，只要学会了其中一种解决方法，就能自发地延伸到其他题目，收到举一反三的效果。分类思想在数学的应用上非常广泛，是高中数学学习过程中的重点、难点和考点。分类思想有一定的难度，但是只要掌握了这种思想，很多数学问题就能迎刃而解了。例如，设集合A={x|x2+2x=0，x∈R}，集合B={x|x2+a-1x+a2-1=0，a∈R}，若BA，求实数a的值。

分析：BA可以分三种情况，B=A、B=？椎，B≠？椎这三种情况讨论。

解：A={x|x2+2x=0，x∈R}，解得A={0，-2}

（1）当B=A时，即B={0，-2}，所以方程x2+a-1x+a2-1=0的两根是0和-2，根据韦达定理得：

a2-1=0-a-1=-2

a2-1=0，得a=±1

由-a-1=-2得：a1=-1，a2=3（不合题意，舍去）

所以a=-1

（2）当B=？椎时，即方程x2+a-1x+a2-1=0无解，所以Δ=-3 a2-2a+5

解得a1

（3）当B≠？椎时，则B={0}或者B={-2}

（i）当B={0}时，方程x2+a-1x+a2-1=0有两个相等的根都是0

根据韦达定理得：a2-1=0-a-1=0

解得a=1

（ii）当B={-2}时，方程x2+a-1x+a2-1=0有两个相等的根都是-2

根据韦达定理得：a2-1=4-a-1=-4

此时a无解，此种情况不存在。

综上所述，实数a的值为a

把分类思想运用到集合的计算过程中去，可以避免一点看不见的盲点，从而全面地分析题目，分类思想在高中数学中的重要性，在于它不仅是学习集合过程中一种常用的手段，更是在数学领域中一种基础的解题方法。所以，要培养分类思维方式，更好地运用分类思想去解决数学集合问题。

三、把转化思想和集合问题相结合

转化也叫划归，从古至今，学习数学、应用数学就一定有转化的思想。转化思想可以将复杂的问题转化成简单的问题，这就是转化的魅力所在。它是在数学教育过程中应用最为广泛的一种思想，转化前后的问题往往是等价的，这就是转化的意义之一。

例如，已知集合A={x∈R|x2-3ax+3a2-1=0}，B={x|x≥0}，且A∩B≠？椎，求实数a的取值范围。

分析：依题意得，因为集合A∩B≠？椎，所以方程x2-3ax+3a2-1=0有解，集合A并非空集。由此探讨，方程x2-3ax+3a2-1=0有两个根，其中一种情况是一个非负根和一个负根，另一种情况是方程有两个非负根。所以，遇到这种情况的题目，是比较复杂的。为了把题目简单化，我们可以利用转化思想来解题。

解：因为方程有根，所以集合A={x∈R|x2-3ax+3a2-1=0}有解

（1）若方程有两个非负根，则根据韦达定理可知

Δ=（-3a）2-4×1×（3a2-1）≥0x1+x2=3a≥0x1x2=3a2-1≥0

（2）若方程有一个非负根和一个负根，则根据韦达定理可知

Δ=（-3a）2-4×1×（3a2-1）>0x1x2=3a2-1≤0

综上所述，实数a的取值范围是：

集合的问题，不管怎么变，都是需要运用数形结合、分类思想、方程的思想以及转化思想去解决问题。要抓住已知的信息，从不同的角度去思考，运用不同的手法和多方向思维去解决题目，从探索中寻找出最简单便利的方法，提高学习效率。数学教育还在继续，教育的方法还在探索，需要广大教师坚持不懈地继续和努力，为培育新一代优良品格的学生，提高他们的实践能力和综合素养孜孜不倦地奋斗。

参考文献：

[1]刘希栋.透过“表示”看对集合概念的理解.中学教学参考，2012（2）.

[2]李明照，魏晓娟.浅淡集合思想在高中数学解题过程中的应用.数学爱好者，2008（04）.

（作者单位 江西省抚州一中）