如何在数学教学中点亮学生思维的火花

摘 要： 教师在数学在课堂上要尽量给学生营造宽松的、有利于发挥学生创造力的环境，给予他们创造性尝试的机会，还要摒弃“教师讲学生听”的观念，树立“师生共同探索”的观念，把课堂还给学生.本文从营造开放性学习环境，养成主动的思维习惯，善待“错误资源”，激活学生思维；抓住“断章取义”，完备学生思维这三个方面阐述了如何点亮学生在课堂上的思维火花，让学生养成良好的思维习惯.

关键词： 数学教学 主动思维习惯 激活思维 完备思维

我们在课堂上应尽量给学生营造宽松的、有利于发挥学生创造力的环境，给予他们创造性尝试的机会，对于学生富有创意，别出心裁的解题方法及解题思路给予充分肯定，让学生意识到自己内在的无穷力量，也从老师的肯定中体验到创造和成功的乐趣.因此，我们在教学中要摒弃“教师讲学生听”的观念，树立“师生共同探索”的观念，把课堂还给学生.真正实现在教师的参与、指导和建议下，学生积极主动、创造性地获取知识和应用知识，在活动中发展创新精神和创新能力.

一、营造开放性学习环境，养成主动的思维习惯

一个问题的标准答案可能只有一个，但思考途径却是多种多样的，解题教学应提倡这种多样性.要发展学生的创造性思维、批判性思维及反省性思维等高层次思维能力，他就应该从更多的角度看问题，感受更多的问题情境.别人的不同思路可能正是自己应该开发而尚未发现的盲点，而自己的思路也可能成为他人关注的焦点.因此，让学生敞开心扉、各抒己见，将自己真实的解题思路及想法说出来，形成充满对话、交流甚至辩论、争执的开放性情境，完全有实施的必要和可能.

在一节三角函数的习题课中，我选择了下面这道例题：求函数y=■的值域.

本来打算两边同乘以1+cosθ，从三角函数的有界性方面进行引导，可是当两边同乘以1+cosθ之后，同学们还是没有思路，无法继续操作下去。这时下面有几个学生说：“化齐次式，化齐次式”，这完全是与我预期的思路相违背的.本来备把学生的思想引回来，转念一想，让他们说吧，看看能说出些什么来，于是让他们说我板书，把“1”配成“sin■■+cos■■”，“sinθ”，“cosθ”用两倍角公式展开，

得y=■=-■tan■■+2tan■-■.

转化为关于tan■的一元二次函数，接下来解一元二次函数的值域.

师：很好，怎么会想到这个方法？

生：看到分式就想到了齐次式，转化为只有一个变量.

师：很好，那么还有没什么其他方法？（想把他们引回原来的思路上）

沉思了一会，一生说：看成斜率.

师：好的，请说说看.（看到学生又有新的思想，很兴奋）

生：原式变形为y=2■，看成点P（cosθ，sinθ）和点Q（-1，■）连线的斜率的2倍，作单位圆x■+y■=1和点Q（-1，■），P在圆上移动，求得PQ与圆相切时斜率为■，得k■∈（-∞，■]，所以y∈（-∞，■].

师：请学生继续思考，还有没有什么方法可以解决这个问题？

学生陷入思考状态.

师提示：值域的本质是什么？是不是就是y的范围？当直接从x出发求值域不好处理是，我们是不是也可以构造关于y的解析式解不等式？

这时候有个别学生很兴奋，他说：“分母乘过去也可以做.”

师：继续说.

生：两边同乘以1+cosθ，得（1+cosθ）y=2sinθ-1，即2sinθ-ycosθ=y+1，即■sin（θ+？渍）=y+1，即sin（θ+？渍）=■再由|sin（θ+？渍）|≤1得|■|≤1就可以解出y的范围了.

思维是从问题开始的，没有问题，也就难以诱发思维和激发出求知欲望，感觉不到问题的存在，也就不会思考，思维也就无法积极主动地展开.因此在数学教学中，教学要通过提出启发性问题或质疑性问题，创设新异的教学情境，给学生创造良好的思维环境，让学生经过思考、分析、比较加深对知识的理解.

二、善待“错误资源”，激活学生思维

如果学生的思路是基于独特创造的精彩见解，那么很易得到教师的首肯，并作为一种解题的创新途径加以推广，其自身的价值也就顺理成章得以升华.但当学生的想法是一种错误理解或是一种暂时难辨真伪的模糊表征时，教师多半会流露出厌烦的情绪，倾向于采用简单否定的处理方式.岂不知这样就失去了一次识别学生对知识理解、概括程度的绝好机会，也就丧失了引导学生进一步建构良好知识结构的机会.其实，学生错误或模糊的思维正反映了他们当前的认识冲突，或知识迁移上的障碍所在.教师完全可以将其作为衡量学生发展状态的一个参照系，作为洞察、开发、利用学生发展潜能的有效工具.如：已知数列{a■}和{b■}都是等差数列，S■和T■分别是它们的前n项和，若■=■，求■.

生1：因为■=■，可设S■=4n+3，T■=2n+5，于是a■=S■-S■=4，b■=T■-T■=2，所以■=2.

生2：刚才的结论对，但解法不对，因为■=■，不能得到S■=4n+3，T■=2n+5，应设S■=k（4n+3），T■=k（2n+5），于是a■=S■-S■=4k，b■=T■-T■=2k，所以■=2.

师：生1和生2人解法不同，但结论相同，他们的解法对吗？

生3：都不对，等差数列的前n项和是一个不含常数项的一元二次函数，而他们设的都是一次式，应设为S■=kn（4n+3），T■=kn（2n+5），从而得到a■=63k，b■=35k，故■=■.

师：很好，生3指出了生1和生2解法的错误所在，只有当等差数列是常数列时，才能将其前n项的和设为一次的形式，而本题并没有这样的条件，因此生1和生2都犯了偷换题设的错误.其原因在于对等差数列的前n项和的特征认识不到位，生3抓住了等差数列前n项的和的本质特征，给出的解法非常好.

生4：我有更简便的方法，S■=15a■，T■=15b■，即■=■=■=■.

师：非常巧妙，生4将等差数列的通项a■，b■与前n项和S■，T■联系起来，在已知与未知之间架起了桥梁，你们能不能得到一个更一般化的结论？

生5：S■=（2k-1）a■，T■=（2k-1）b■，所以■=■.

师：太棒了，生5证明了一个非常漂亮的结论：等差数列{a■}和{b■}之比的前n项和与T■之比有如下关系：■=■.

学生解题中的错误种类较多，如果不把原来错误的思维或心理过程模拟出来，就很难找出其错误的根源，其结果势必造成教师一味把正确的解答抛给学生，而学生真正的困惑却得不到有效解决.在本节课堂教学中，教师巧妙利用了学生的“错误资源”，让学生更深刻认识到了错误的本质，然后因势利导，引领学生探究，从而生成正误知识的辨析点，让学生的思维瞬间得到了升华.

三、抓住“断章取义”，完备学生思维

魏书生老师说：“事物是一分为二的，你觉得它苦，它必有甜，正因为你烦，所以你必然也会喜欢.认真思考，你们一定会发现学习的乐趣.”学生在分析问题的时候，经常被事物的个别特征或外部特征所困扰，难以深入到事物的本质中，要么就是死做硬做，要么就是断章取义.这时候如果能合理进行引导，就有可能收到意想不到的效果.

例：（2013南通二模18）已知函数f（x）=（m-3）x■+9x.

（1）若函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；

（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值.

第（1）小题的处理没有问题，因为f′（0）=9>0，所以f（x）在区间（-∞，+∞）上只能是单调增函数.

由f′（x）=3（m-3）x■+9≥0在区间（-∞，+∞）上恒成立，所以m≥3.

故m的取值范围是[3，+∞）.

第（2）小题的处理分歧较大，绝大部分同学采用分类讨论的思想：当m≥3时，f（x）在[1，2]上是增函数，所以[f（x）]■=f（2）=8（m-3）+18=4，

解得m=■

当m

所以f（x）的单调区间为：（-∞，-■）单调减，（-■，■）单调增，（■，+∞）单调减.

①当■≥2，即■≤m

[f（x）]■=f（2）=8（m-3）+18=4，m=■，不满足题设要求.

②当1

③当■≤1，即m≤0时，则[1，2]？哿（■，+∞]，所以f（x）在区间[1，2]上单调减，

[f（x）]■=f（1）=m+6=4，m=-2.

综上所述：m=-2.

还有一部分学生是这么处理的：因为f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调函数，所以f（1）=4或f（2）=4，得出m=-2或m=■.

我把两种解法分别投影在白板上，同学们不难发现第二种解法是错误的.

师：那么解法1是否过于繁琐，解法2的同学思想方法哪里出了问题？

生：最大值应该是f（1），f（2）中的某一个，不能笼统地写成f（1）或f（2）.

师：那么2解法是不是可以给我们一些信息，能更方便处理这个题目.

生：如果能判定f（1），f（2）的大小关系就好了.

师：f（1），f（2）的大小由什么决定？

生：m，可以控制m的范围.

师：怎么控制？

生：函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，所以f（1）≤4，且f（2）≤4，

从而得到解法3：函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，

所以f（1）≤4f（2）≤4？圯m≤-2.

f′（x）=3（m-3）x■+9=3（m-3）（x■+■）=3（m-3）（x+■）（x-■）

因为m≤-2，所以■

所以当x∈[1，2]时，f′（x）

这两种方法都能解决问题，但明显解法3避免了繁琐的讨论，这道题有效地考察了学生的思维水平、知识的迁移和综合能力，也有效地培养了学生的创新意识和创新能力.

思维活动的研究，是教学研究的基础，尤其数学教学与思维的关系十分密切，数学教学的中心任务是培养学生的思维能力.思路也许有优劣之分，但体验却没有多寡之别.自信与自尊不是靠别人的施舍与怜悯，而是在自主活动中产生的.抓住学生思维的闪光点并加以展示，就能有效地使学生形成主动学习的意识和自主判断的能力.然而推崇解题中学生的非常规的超预期的思路，并不是无原则的、不加区别地一味认同和放任，而应当根据具体情况进行艺术化处理，尽力使各种超思路所具有的价值体现出来.

参考文献：

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