数学思想在大学数学解题中的应用

[摘要] 数学思想是对数学知识内容和所使用方法的本质认识，是数学知识在更高层次的抽象概括和提炼，数学思想支配着数学的实践活动.本文结合具体的例子，从四个方面阐述了常用的数学思想在大学数学解题中的应用。

[关键词] 大学数学 数学思想 解题应用

一、引言

数学思想是对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识，数学思想直接支配着数学的实践活动。

二、大学数学解题中常用的几种方法

在数学学习中常用的数学思想方法大致有下面几类：一般与特殊思想、转化思想、函数思想、数形结合思想等。只要我们善于分析归纳，灵活利用数学思想解题，定会起到事半功倍的作用。下面结合几个具体的例子说明数学思想在大学数学解题中的应用。

1．特殊化思想

特殊化思想的意义在于当研究的对象比较复杂时，通过对其特殊情况的研究，将会使我们对研究的对象有个初步了解，并且帮助我们熟悉所面临的问题的类型，这对于进一步处理以至最终解决这个问题有很大好处。另外，事物的共性存在于个性之中。对个别的特殊情况的讨论，常常可以凸现问题的关键，从而揭示出问题的本质。只要我们寻找到题目蕴涵的特殊和一般之间的联系，运用特殊化思想能起到事半功倍的效果。

例1将三角形每边分成三等份，将每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点。

分析：该题目直接证明复杂，而欧氏几何是仿射几何的子几何，可以用仿射观点研究一些欧氏几何命题。仿射变换保留点线的结合性，很多一般形状的图形都可以由特殊图形仿射变换得到。所以对于只涉及点线的有关数学问题，我们可以利用从特殊到一般的思想，只就特殊问题证明，一般问题的结论自然就成立。因为任何三角形可以由正三角形经仿射变换而得，因此只就正三角形证明即可，对正三角形来说结论显然。

2．转化思想

数学方法论中所论及的转化是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。该方法在解题中被广泛用到。大学数学的学习中我们经常利用该方法，比如将多元函数的微分和积分相关问题转化为一元函数的微分和积分等。

例2 计算二重积分，其中是由曲线和直线所围成的闭区域。

分析：除了直角坐标系外，常用的另一种坐标系是极坐标系。有些问题在直角坐标系下考虑或计算较为烦琐时，往往考虑使用极坐标系。本例使用极坐标系可将积分区域变得相对简单，便于积分。在处理此类二重积分时这是经常要用的手段。

解：将积分区域化为极坐标，有

=======

3．函数思想

函数的思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题转化问题，从而使问题获得解决。对于一些常见的实际问题的处理我们需要转化为数学问题，分析变量之间的联系，要构造函数，利用相关函数的思想借助导数等相关定理解决问题。

例3 某车间靠墙壁要盖一间面积为64平方米的小屋，现有存砖只够砌24米长的墙壁。问这些存砖是否足够围成小屋？

解：设小屋宽为，则按要求小屋长为，所砌墙长为，则有：.现在需讨论，要靠一墙壁盖一间符合要求的小屋，应砌砖墙的最短长度如何。

令得。

即当小屋宽为时，砖墙最短，最短砖墙为：。

而所存砖够砌24米长的墙，所以存砖够围成小屋。

4．数形结合的思想

数形结合的思想就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的性质，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题.在大学数学的解题中，根据题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系。

例4 计算曲线积分，是上半圆周：，，方向从到。

分析：若对该曲线直接积分，计算较为麻烦。根据图形的几何特征，转化为闭曲线计算要简单的多。

解：连接，方向从到，记这个方向的直线段为，则与构成一个半圆形区域，是的边界，方向为正向，利用格林公式，这时，，那么，，因此有

（令）=

所以=

在上：，从到，则有

这样便得到=

除此之外，象分类讨论思想，类比思想等都是大学数学解题中常用的思想，只要我们善于分析归纳，将数学思想灵活运用，定能开阔解题思路，更好的掌握这门课程的知识。

参考文献

[1] 莫里斯・克莱因. 古今数学思想[M]. 上海：上海科学技术出版社，2007

[2] 张顺燕．数学的思想、方法和应用[M]．北京：北京大学出版社，2009

[3] 高等数学.[M].上海：同济大学出版社，2007.

【基金项目：安康学院重点扶持学科《基础数学》（AZXZ0107）】