数学证明中的分析法

山东省成武第一中学274200我们把所研究的对象及其分解成的各个部分看成是一个集合,那么,对这个集合中各元素研究顺序的不同,就形成了不同的思维分支,也就是通常所说的不同类型的分析法. 下面对数学中常用的几种分析法作初步介绍.

1 追溯型分析法

这种分析法,其思路是把所研究的对象看成是一个整体,并假设该事物是存在的(或成立的),进一步分析其组成的各个部分成立的充分条件. 当这些条件找到了(或成立)时,显然这些条件就是原事物(或原命题)成立的充分条件. 从而说明结论成立,这种方法叫做追溯型分析法. 其实质是“执果索因”.

例1 若四边形的两组对边相等,则四边形是平行四边形.

已知:如图1,在四边形ABCD中,AD=BC,BA=CD.

求证:ABCD是平行四边形.

分析法 连结BD,欲证ABCD是平行四边形,则需证明AD∥BC,BA∥CD. 可以证∠1=∠2,∠3=∠4,则需证ABD≌CDB,则需先证出AD=BC,BA=CD,BD=DB. 这些条件可以从已知中找到. 问题已解决.

2 构造型分析法

这种分析法,其思路是把所研究对象中的成立的部分和不明确的部分都看成是成立的,这样,整个事物也就随之被看做是成立的(这就是构造),然后进行探讨、推理,找出不明确部分成立的必要条件,即是整体事物成立的必要条件,也就是通常所说的原命题成立的必要条件. 从而得到解题思路. 构造型分析法常用于解决起点不清晰与辅助元素不明确的问题,它对于开拓思路、添加辅助元素有一定的作用.

例2 已知:在ABC中,AB>AC,AD为∠A的平分线,P为AD上任意一点.

求证:PB-PC

证明 分析给定的图2,就我们研究事物的整体来说,其中的边、角和由它所涉及的有关线段等都可看成这个事物的各组成部分,其中PB、PC、AB、AC分别为相应三角形的边,即该事物中成立的部分.

考虑到PB-PC和AB-AC,可在AB上截取AE使AE=AC,则应有AEP≌ACP,所以PE=PC,从而有PB-PC=PB-PE,AB-AC=BE. 我们希望的是PB-PE

3 前进型分析法

这种分析法,其思路是从整体事物中已经成立的某一部分出发,运用已有的知识经过逻辑推理逐步寻找并扩及到其它部分成立的条件,最终挺进到原事物成立的必要条件,也就是原命题成立的必要条件,使导出的条件恰为问题的答案. 前进型分析法是一种寻求结论或答案的连续探索性分析法,常用于解决结论带有模糊性的较为复杂的问题.

例3 设在一个由实数组成的有限数列中,任意7个连续项之和都是负数,而任意11个连续项之和都是正数,试问这样的数列最终能包含多少项.

4 分析综合法

分析综合法的基本思路是从命题的充分条件出发,用前进型分析法进行到一个中间目标,又从命题的必要条件出发,用追溯型分析法也追溯到一个中间目标,直到两者追到同一个中间目标(结果),从而沟通思路,使问题得到解决. 这种方法称为分析综合法.

例4 如图3,已知OA、OB为O的半径,OAOB,弦AQ与OB相交于点P,切线QC交OB的延长线于C点. 求证:CP=CQ.

思路分析:

分析法:要证CP=CQ,只须∠1=∠2. 因为∠1=∠3,故只须∠2=∠3.(1)

综合法:观察已知条件与给定图形,联想到添加辅助线:延长AO交O于R连结RQ. 由弦切角定理知∠2=∠R. (2)

在RtAQR与RtAOP中,∠A=∠A,所以∠3=∠R.(3)

由(1)、(2)、(3)可知思路已经沟通,整理一下即可得到完整的证明.

事实上,分析与综合是一对互逆的过程,是相辅相成的两种逻辑方法. 它们相互依存,又相互否定,分析是基础,综合是分析的必然发展. 在实际的证题过程中分析与综合是统一运用的,即面对一个数学问题,总是先分析,在分析的基础上综合,在综合指导下再分析,此时分析中有综合,综合中有分析,分析不断转化为综合,综合继续发展,又转化为更高一级、更深一层的分析. 它们相互交替、层层相套、螺旋上升,成为解决数学问题最为有效的方法和策略.