“分母为什么不能为零”引发的思考

在一节认识分数的课堂上,当教师反复强调“分母不能为零,否则无意义”时,有学生不服气了,问“为什么分母不可以为零?为什么无意义?”,这位教师当时也不知道如何回答,因为这个问题就是这么规定的,从上小学时候就已经知道了.

这样一个看似简单的问题“分母为什么不能为零”其实不简单,据了解,在今年某些高校数学专业的研究生复试中,能说出道理来的考生几乎没有,因为大家都没有想过这个问题,“无意义”三个字好像能说明一切问题.

作为一位数学教育工作者,需要思考这个问题背后隐藏的是什么.为什么学生会提出这样的一个问题,仅仅是逻辑上的错误吗?在数学王国中存在分母为零的形式吗?

1 数学源于实践

早在人类文化发展的初期,由于进行测量和均分的需要,人们引入并使用了分数.在拉丁文里,分数一词源于frangere,是打破、断裂的意思,因此分数也曾被人叫做“破碎的数”.[1]

用一个作标准的量(度量单位)去度量另一个量,只有当量若干次正好量尽的时候,才可以用一个整数来表示度量的结果.如果量若干次不能正好量尽,有两种情况:

在分物的过程中,也是同样的道理,需要先找到一个分数单位,通常将一个物体或一群物体看成一个整体,即单位“1”,把它平均分成若干份,表示其中1份的数,叫做分数单位.

如果说分母可以为零的话,就是首先否定了度量单位或分数单位,所以就失去了其在测量以及均分中的实际意义,因为数学是源于生活的.学生之所以会提出这样的问题,很可能因为其对分数产生的必要性不够明确,只悟其然而不知其所以然,所以对分数的理解停留在形式上,教师在教学中需要注意告诉学生新知识产生的背景,而不仅仅停留在分分画画做做等浅层次的形式上,要能通过这些直观的形式,让学生更好地理解和把握住知识的本质与实质.比如理解分数具有两种不同的意义:1.分数可以作为一个量,它或者是分数单位,或者是分数单位的整数倍.2.分数可以表示量数,是以一个量为基准量去度量另一个量所得的结果,它是描述两个量倍比关系的一个数(自然数或分数).[2]这样理解分数更易于学生接下来的比例学习以及比的学习.

2 数学高于实践

数学源于实践,但又高于实践.数学是一门抽象的思维科学,它的研究对象是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物,是人脑的产物.与其它学科的抽象程度不同,数学的抽象舍弃了事物的其它一切方面,只保留事物的数量关系和空间形式,并且具有层次性,越到高的层次,抽象的程度也越高.例如,数学家从人类生存的现实空间,抽象出三维欧式空间,又进一步抽象出n维线性空间以至无穷维线性空间以及其它更抽象的空间.

针对本文开头所提出的“分母不能为零”的问题,前面已经从实际意义的角度作了说明,但如果在纯数学领域中,分母为零的这种形式是存在的,但是显然已经不属于简单的分数领域.在高等数学求极限的部分,将会遇到“0/0”的极限类型,即分式上半部分和下半部分的极限都趋于零,这样的形式一般都是消去使分子分母为零的公因子,然后才求其极限.

3 对数学教学的启示

德国数学家汉克尔说:“在大多数科学里,一代人要推倒另一代人所修筑的东西.只有数学,每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼.”[3]这意味着数学以外的学科创新,多半是推倒旧理论,建立新理论,唯有数学学科的创新是在承认原有结论的基础上,发展出新结论、新理论.可以说,数学是由基本概念以及描述概念之间抽象关系的定理所建构起来的大厦,所以对于刚刚接触数学的低年级学生来说,数学基本概念的教学显得十分重要,因为学生由此构建起来的数学认知结构将会影响到他们日后对数学的理解水平和兴趣.

第一,数学源于实践要求教师在给低年级学生介绍基本概念时,尽量从他们能够理解的情境和活动经验出发,比如通过学生手指实物到口头点数的过程建立数与实物的一一对应,从5个苹果,5个人,5支铅笔中抽象出数字5的概念,通过实物分合游戏理解数的加减概念等.当学生具备了一些基本数学知识和经验之后,在介绍新概念时,很有必要建立其与已有概念的联系,比如减法可以是加法的逆运算,或者能够使学生领悟到此概念产生的必要性,比如分数的产生是由于测量和均分的需要.使学生在认识数学的过程中,也逐渐理解了数学.

第二,抽象化和形式化是数学的本质特征.数学对于受教育者,不仅仅是一门课程和一门知识,更重要的是数学的思维方式、数学的理性精神.数学家欧拉倡导“发现法”的数学教育,他认为数学教育并不总是让学生认知,在很大程度上是让学生欣赏,这样才有最佳的教育效益.因此,认知并不是我们数学教育的最终目的,数学的思维方法以及理性精神才是最终目的.例如“分母为零”的问题,在现实生活中不会存在,但是在求极限的数学知识中却出现了相关的形式,并通过转化使其合理化了.

第三,学生提出的有关数学基本概念的问题不可忽视,因为他们正在尝试建立自己的认知结构,处理不好往往会使他们失去学习数学的兴趣.经典的例子是科学家袁隆平小时候的故事,袁隆平就是想不通为什么“负负得正”,所以向老师请教,老师告诉他就是这么规定的,没有为什么.袁隆平从此就不喜欢数学了,认为数学不讲道理.所以特别是在低年级的数学教学中,学生总喜欢问这些“为什么”的问题,教师需要帮助其理解知识的涵义,并纠正其不正确的或不科学的数学概念,帮助其完善数学概念的自我建构.

参考文献

[1] 贺晓恒.从分数的历史看分数的教学[J].湖南教育:数学教师,2007,(05):11.

[2] 王永.从分数产生的现实背景认识分数的本质[J].小学教学数学版,2008,(04):46.

[3] 顾沛.数学文化[M].北京:高等教育出版社,2008.12.

作者简介 严家丽(1986―),女,安徽六安人,天津师范大学数学科学学院08级硕士研究生,方向为数学教学论;王光明(1969―),男,天津宝坻人,天津师范大学课程与教学研究中心教授,硕士生导师,北京师范大学数学科学学院博士后,研究方向为课程与教学论以及数学教育.