几何题的“如图”之我见

南京金陵中学河西分校210019

几何研究的对象是图形,“如图”是指题目中已画出图形,而“无图”则指题目未画出图形.同一个几何问题,有图与无图的结果未必一致,不妨先看两道中考题:

题1 (2009哈尔滨市卷)如图1,O的直径CD=10,弦AB=8,ABCD,垂足为M,则DM的长为______.

参考答案为8.

分析 连结AO,易求得OM=3,所以DM=5+3=8;而如果没有图形,则存在另一情形:当垂足M在线段DO上时,DM=5-3=2,此时答案应是8或2.

题2(2009孝感市卷) 如图2,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.小明认为:若MN=EF,则MNEF;小亮认为: 若MNEF,则MN=EF.你认为( )

A.仅小明对 B.仅小亮对

C.两人都对 D.两人都不对

参考答案为C.

分析过点M、E分别作MGDC、EHBC,垂足为G、H,易证MGN≌EHF,进而可证得两人的看法都对;而如果没有图形,易知存在MN=EF,但MN与EF不垂直这一情形(见图3中的PF与MN),此时仅小亮对.

题1的答案一般不会引起争议,但题2的答案或许会带来困惑:按“如图”还是另再画图解题?若认为题1、题2的参考答案没问题,那下面题3的答案该是什么呢?

题3已知线段AC与BD相交于点O,连结AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连结EF(如图4所示).

(1)添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:AB=DC.

(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是_____命题,命题2是_________命题(选择“真”或“假”填入空格).

这是2009年上海市的一道中考题,问题(1)很简单,利用全等三角形易证;问题(2)是一道探索性问题,参考答案为:真,假.

对命题2的答案“假”,笔者觉得值得商榷.命题者思路可能如下:由∠OEF=∠OFE可得OE=OF,又E为OB的中点,F为OC的中点,所以OB=OC,又AB=DC,∠AOB=∠DOC,找到的三个条件为“边、边、角”,于是认为不能判定三角形全等,进而得不到∠A=∠D.事实上,尽管“边、边、角”一般不能作为全等三角形的判定方法,但特殊条件下是正确的,例如我们熟知的“HL”定理就是当两个角是直角的情形,此外若两个角都是钝角也正确.另一情形就是当题目的图形已画好(确定),即我们常见的如图所示,通过适当的辅助线可把看似“边、边、角”问题转化成能用其它的全等三角形判定方法来解决,据此笔者认为命题2也是正确的.证明如下:

如图5,作BMAO,CNDO,垂足为M、N,因为∠OEF=∠OFE,所以OE=OF,又 因为E为OB的中点,F为OC的中点,所以OB=OC,因为∠MOB=∠NOC,所以RtMOB≌RtNOC(AAS),所以BM=CN,又AB=DC,所以RtAMB≌RtDNC(HL),所以∠A=∠D.中考命题本不应让学生对题目本身感到疑惑,进而带来解题时左顾右盼、束手无策.究竟该怎样面对几何题的“如图”呢?《现代汉语词典》对“如”的注释①为:适合;依照,故上述试题的解答我更倾向于出现“如图”就应按图求解,不当之处,谨请各位同行赐教.