数学理解对数学教学的意义

在《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》中对大纲阐述教学目标分为了解、理解、掌握、灵活运用等四个层次，由此，大纲意义上的数学理解是“对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来的，它与其他概念和规律之间的联系，有什么用途。”而掌握“一般地说，是在理解的基础上，通过练习，形成技能，能够（或会）用它去解决一些问题。”显然，教学要求上理解的层次低于掌握而高于了解，但是没有正确的理解根本就谈不上掌握。

数学理解究竟是什么？它对高中数学教学有什么意义呢？本文参考一些文献资料并结合教学实际对此略作探讨，抛砖引玉。

一、数学理解的含义

数学理解应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解。图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质.

“理解不仅仅是把新知识与先前的旧有知识产生联系，而是创建了一个丰富的、整合的知识结构，……，当知识被高度结构化的时候，新的知识就能被连接、并被融合进已有的知识网络中，而不是只产生元素之间的单个连接，……高度结构化的知识不易被遗忘，它有着多重途径被找回，而孤立的知识片段更难于被记忆。”现代数学教学提倡素质教育，数学理解对于学生个体发展的意义首先在于：知识的理解有助于完善与优化个体大脑内部的知识网络结构，从而推动记忆，又更易于接受新信息、同化与理解新知识，也正因为有了对数学知识的正确理解才拥有进一步学习的基础和学习的兴趣，形成良性的学习过程;另外，理解的过程其实也是知识的迁移与应用的过程，是一个以已有知识和经验为基础的主动的建构过程，只有当学生通过自己的思考建构起自己的数学理解力时，才能真正学好数学，同时也拥有了举一反三以至开拓创新的经验和能力。知识只有被深刻理解了，才具有迁移与应用的活性，这种迁移能力对个体未来发展是十分重要的。当然，对数学知识的理解是一个长期的不断积累、不断完善的进程。

数学理解既是认知建构的过程也是认知建构的结果，数学理解与否是造成数学学习成绩两极分化的重要原因。

二、高中新课改对数学理解提出的要求

首先，在课程设置上专门安排选修课的内容，例如数学史选讲、几何证明选讲、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的基础上，进一步加深对已学知识和相关知识的理解。其次，在教学过程中，要求引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质，注重体现基本概念的来龙去脉。要求通过精心设计问题情境，促进学生主动提出问题，引导学生主动从事观察、概括、猜想、推理等数学活动，在解决问题的活动过程和在运用数学的过程中增强应用意识、加深对数学的理解。要求教师用新的观点审视基础知识和基本技能，并帮助学生理解和掌握数学基本知识、基本技能和基本思想。对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）要在整个高中数学的教学中螺旋上升，让学生多次接触，不断加深认识和理解。最后，要求在进行学习评价时，注重评价学生对数学本质的理解。

三、学生学习数学时理解上产生的误区

在实际数学教学中最常见的表现是：教师尽管在课堂上讲解得头头是道，不厌其烦，反复强调重点要点，学生却充耳不闻;教师尽管如何地强调学习数学的重要意义，学生却仍然认为数学是枯燥乏味的符号游戏，不得要领;教师在课堂上详细分析过的数学习题，学生在作业或测验中仍然可能是谬误百出等等.结果，老师的抱怨之声不绝于耳：连课堂上讲过的一模一样的习题，在考试中出现时仍然做不出来！为什么会这样？

建构主义认为：学习不应看成对于教师所授予的知识的被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的、社会的建构过程.“理解”并不是指学生弄清教师的本意，而是指学习者已有的知识和经验对教师所讲的内容重新加以解释、重新建构其意义，上面所列举出来的种种现象，只能表明学生认为自己“我通过了”，甚至“我懂了”其实并没有达到对数学知识的真正的理解，他们所学到的往往并非是教师所教的！学生真正获得对知识的“消化”，是把新的学习内容正确地纳入已有的认知结构，从而使其成为整个结构的有机组成部分.由此，我们对学生“理解”或“消化”数学知识的真正涵义获得了新的解释，也能从中认识到“满堂灌”的真正危害。这正如我国著名特级数学教师马明先生所说的一样：教师把知识“抛”得越快，学生忘得越快.教得多并不意味着学得也多，有时教得少反而学得多.

四、数学理解对数学教学的启示

首先，数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系。建构主义学习观一再强调：“要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的、只言片语的。”而希伯特教授则用信息的内部表示和构成方式来描述理解，“我们认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，是指它的智力表示成了表示网络的一个部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。”这就是说，数学理解是数学教学的一个重要部分。

其次，理解不是一种或有或无的现象，实际上所有复杂的数学概念、数学命题都可以在一定层面上、以完全不同的方式被理解，数学学习是一个循序渐进、吸收消化的过程。数学理解的形成机制是重新组织，这一组织过程并非一帆风顺，有可能是一个更为紊乱的过程，甚至是暂时的倒退，随着重新组织产生更丰富、更具强有力联系的、更有凝聚力的网络，理解就增长了。如何在教学中促进理解的增长呢？问题情境的创设和变式教学有助于加深加强数学理解，对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系。

第三，数学理解的形成必须要以学生的自主活动为基础，借助于积极的智力参与，主动积极的外部活动过程逐步内化为主体内部的心理活动过程，并从中产生出主体的个人体验，基于个体自身的数学理解才得以初步形成。现在，在教学活动中学生的数学学习活动不仅仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和积累，教师应倡导学生动手实践、自主探索、合作交流、阅读自学，从而让他们能够更深刻地理解基本的结论的本质，体会其所蕴涵的数学思想和方法，体验数学发现和创造的历程。