数学概念的特点和学习含义

一、数学概念的特点和学习意义

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的这一类对象本质属性，即这类对象的内在的，固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象时现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式结构，在某种程度上表现为对原始对象具有内容的相对独立性。

数学概念具有抽象与具体的双重性，数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的，以“矩形”概念为例，现实世界没有见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形，丛这个意义上来说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化，符号化得语言，是数学概念离现实更远，即抽象程度更高，但同时，正因为抽象程度愈来愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使得数学概念应用愈广泛。但不管怎样的抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为具体内容。且数学概念的数学命题，数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以它即抽象又具体。

数学概念还具有逻辑关联性。数学中打多数概念都是在原始概念（原名）基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有教学中诸如概念那样具有如此精准的内涵和如此丰富，严谨的逻辑关系。

数学概念教学是中学教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学的重要一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别是像我校这样普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解，应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学时提高中学生数学教学质量的带有根本意义的一环。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素养的培养提供了有利条件以及必要的保障。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊：其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的，零碎的认识。这样久而久之，从而严重影响对教学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有的同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的同学认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。从一定意义上来说，数学水平的高低，取决于对数学概念的掌握的程度。

二、数学概念的教学形式

1.重视概念的本源，概念产生的基础，体验数学概念形成过程。

学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现，创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在教学概念教学中培养学生的创造性思维。引入时概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历教学家发现新概念的最初阶段，猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。

比如，在立体几何中异面直线距离与概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂线。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长时最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段是否存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离和概念。

2.挖掘概念的内涵与外延，理解概念。

新概念的引入，是对已有概念的继承，发展和完善。有些概念由于其内涵丰富，外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循环渐进，不断深化的过程：

（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义，

（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义，

（3）任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：三角函数的值在各个象限的符号；三角函数线；同角三角函数的基本关系式，三角函数点的图像性质；三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键的作用。

3.寻找新概念之间的联系，掌握概念。

数学中有许多概念都有着密切的联系。如函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系式将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来，另一种高中给出的定义，是从集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数可用图像，表格，公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质上也一样，只不过在叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。

4.运用数学概念解决问题，巩固概念。

数学概念形成之后，通过具体的例子，说明概念和内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对教学概念的巩固，以及解题能力的形成。