数学思想在不等式证明中的应用

摘 要：在不等式证明过程中，运用熟悉的各种数学思想和数学方法，比如函数思想、方程思想、整体思想等，以便寻找结论成立的充分条件，最终使问题得以解决.

关键词：不等式证明；数学思想；函数思想；辅助函数

在现实世界中，不等关系是普遍的、绝对的，而相等关系是局部的、相对的，相等关系是不等关系的某一特定状态.因此，在研究不等式的时候，首先要注意到它与等式的相似之处，从而注意到运用已有的数学思想和数学方法.而不等式的证明是不等式中的基本内容之一，其最基本的方法是比较法――差值比较法和商值比较法；其次是综合法（思路是“由因导果”，一是要注意字母的对称性；二是常经过适当的平均分拆等，创造条件应用不等式，如■≥（■）2，a2+b2+c2≥ab+bc+ca）；再次是分析法（思路是“执果索因”，寻找结论成立的充分条件）.当然还有函数思想，方程思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想、配对思想、赋值思想、拉格朗日中值定理证明、向量思想.本文就函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、赋值思想、数学归纳思想谈一下自己的看法.

一、函数思想

函数思想就是利用联系和变化的观点，建立各变量之间的函数关系式，通过函数形式，利用函数的有关性质（比如函数的增减性），使问题得以解决.对于有些不等式，也可先构造一个辅助函数，然后利用该函数的增减性来证明.

例1.设a∈R+，求证a+■+■≥■.

证明：据不等式左边的特征以及a+■≥2（a∈R+）构造函数f（x）=x+■（x≥2）易证f（x）在区间［2，f（x）］上单调递增.故当x>2时，

f（x）的最小值为：

2+■=■

a+■≥2

a+■+■≥■.

例2.当x>0时，证明ex-1

证明：令f（x）=ex-xex-1（x>0），求导数得f′（x）=-xex0），所以f（x）=ex-xex-1（x>0）是单调递减的，又f（0）=0，则：

f（x）=ex-xex-10），

即上式成立．

二、数形结合思想

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来.通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现化难为易、化抽象为直观的目的.

例3.若a，b，c，d均为正实数，求证（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2.

证明：如下图，作直角梯形ABCD，而且点E在BC上，

■

连结EA和ED，则有：

AE=■，DE=■.

S梯形ABCD=SABE+SDCE+SAED,

又 S梯形ABCD=■，SABE=■，SDCE=■，

SAED=■■■sin∠AED

■=■+■+■■■sin∠AED

由于sin∠AED≤1，所以化简上式可得：

ad+bd≤■■

即 （a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2

三、分类讨论思想

把研究的对象做合理的分类，是揭示数学学科问题中的内涵和外延的重要方法.分类讨论思想就是据数学对象本质属性的异同，将数学对象区分为不同种类加以讨论的思想.

例4.若a，b，c∈R+，且abc=1，则有a2+b2+c2+3≥2（■+■+■）.

分析：因为abc=1，所以a，b，c中必有两个数大于或等于1，或有两个数小于或等于1，由于a，b，c的对称性，我们只需分情况讨论.

证明：据题意分两种情况，（1）a≥1，b≥1，c≥1；（2）a≤1，b≥1，c≥1.

于是原不等式等价于：

■+b2+c2+3≥2（bc+■+■）.

■+b2+c2+3-2（bc+■+■）=（■-1）2+（b-c）2+2（1-■）（1-■）

无论是（1）、（2）哪一种情况，上式总是大于或等于零，故原不等式成立.

四、赋值思想

此思想关键是对变量进行巧妙、合理地赋予一系列特殊的值，如区间的端点、中点、±1、0及顶点等.然后把项的系数（字母）用这些函数值（如f（±1）、f（0）等）线性表示，创造运用绝对值不等式