中学数学竞赛中的参数问题

参数问题是目前中学数学教学的热门课题，常常出现在各类考试和竞赛中.本文以数学竞赛中有关参数的题目为实例，归纳总结在含参不等式、函数、方程中，求解参数取值范围问题的基本解法，并对其中渗透的数学思想方法进行简单的探索研究.对于有些竞赛题，如果利用参数解题，有时会显得十分灵活便利.本文还对参数在解数学竞赛题中的辅助作用进行简单的分析，并对引入参数解题的题型进行简单的概括.

1.参数的取值问题

求解参数取值范围的这类问题涉及的知识面广，内容丰富.下面从含参数不等式、函数、方程三方面对求参数的解法进行讨论.

1.1含参数的不等式.

1.1.1利用基本不等式≥（a≥0，b≥0），它常用于证明不等式，以及求某些函数的最大值或最小值.

例1：（2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛）已知不等式（x+y）+≥9对于任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）。

（A）2 （B）4 （C）6 （D） 8

解：因为（x+y）+＝1+a++≥1+a+2，所以1+a+2≥9恒成立，即（）≥9，解得a≥4.

1.1.2构造辅助函数.

构造辅助函数是解不等式问题的常用方法，就是从新的角度，用新的观点观察分析对象，依据已知条件的特点，构造出一种新的形式，使问题中隐蔽的关系和性质清楚地展现出来，从而简捷地解决问题.将不等式问题通过变形转化为函数问题，利用函数的相关性质比如单调性、周期性，以及函数的图像来研究，从而解决不等式问题.

例2：（第12届“希望杯”高二培训题）已知a∈R，则|a|≤1使不等式x+（a-4）x+4-2a>0，对于所有的a都成立的x的取值范围是?摇?摇?摇?摇.

分析：原不等式即为（x-2）a+x-4x+4>0.

令g（a）=（x-2）a+x-4x+4，则g（a）>0对a∈［-1，1］恒成立.

g（1）>0g（-1）>0，解得x>3或x

观察例2，发现对于有些问题，若经过简单变形后，把参数分离出来使其为主元，构造出以原式中的未知数为自变量的函数，再抓住函数的结构特征得出结论.

若分离出的参数恒大于（或小于）某个函数，则可设法求出该函数的最值，进而确定参数的范围;若分离出的参数可表示为主变量的函数，则可以求考虑该函数的值域，从而得到参数的取值范围;若分离出的参数具有明显的几何意义，则可以用数形结合来解题.

1.1.3构造方程，利用方程的性质求解.

例3：（同例2）

解：构造二次方程x+（a-4）x+4-2a=0，则其根为x=2，x=2-a.

因为-1≤a≤1，所以1≤x≤3.

因为不等式x+（a-4）x+4-2a>0对于满足-1≤a≤1的一切实数恒成立，故所求的x范围为（-∞，1）∪（3，+∞）.

1.2含参数的函数

求函数的解析式中或区间上的参数的值是一类难度较大的题型，下面通过几个例题分析求解策略.

1.2.1利用函数的相关性质解题，使函数的重要性质（如单调性、奇偶性、周期性、最值、凹凸性）有用武之地.

例4：（2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛）已知函数f（x）=-2x+bx+c在x=1时有最大值1，0

解：由题意有f（x）=-2（x-1）+1，则f（x）≤1?圯≤1?圯m≥1.故f（x）在［m，n］上单调递减.所以，f（m）=-2（m-1）+1=，且f（n）=-2（n-1）+1=.

所以，m，n是方程f（x）=-2（x-1）+1=的两个解，解得x=1，，.

又1

1.2.2利用不等式.

例5:（2007全国高中数学联赛天津赛区）已知a，b（a≤b）为正整数，实数x，y满足x+y=4（+）.若x+y的最大值为40，则满足条件中的数对（a，b）的个数为（）.

分析：x+y=4（+）≤4，

故（x+y）-32（x+y）-32（a+b）≤0，x+y≤16+4，

得16+4=40，可知a+b=10.下略.

1.2.3利用导数.

例6：（2007年“希望杯”试题）已知奇函数f（x）=在区间（-∞，-1）上单调递增，且f（1）=2，f（2）

解：因为f（x）=是奇函数，所以=-.

于是c=0.由f（1）=2得，=2，即a=2b-2.

由f（2）

又因为f（x）在区间（-∞，-1）上单调递增，所以f′（x）==->0在x∈（-∞，-1）上恒成立.即当x∈（-∞，-1）时，b>1+恒成立，所以b≥2.故c=0，b的取值范围是［2，+∞）.

1.3含参数的方程

1.3.1直接利用求根公式.

1.3.2利用判别式.

例7:（2008年上海市杯高二数学竞赛）设分别投掷A、B两颗骰子所得的点数顺次为a、b，则使得关于x的二次方程x-2（a-3）x-b+9有实数解的数对（a，b）共有?摇?摇?摇?摇个.

分析:由方程有实数解知Δ≥0，有a-6a+b≥0，由此得到a、b的关系.

因为a、b只可能取1，2，3，4，5，6，所以分别取a=1，2，3，4，5，6，再求出符合条件的b.解得答案为26.

对给定的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），则

（1）方程有异号两根的充要条件是ac

（2）方程有两正根的充要条件是Δ=b-4ac≥0，ab0，

（3）方程有两负根的充要条件是Δ=b-4ac≥0，ab>0，ac>0.

1.3.3利用韦达定理.

方程的根与系数的关系是方程的一个重要性质，它与求（最）值问题、方程的整数根问题，求参数的取值范围问题、根的分布等都有关系.在求与一元二次方程根有关的问题时，要从整体上把握住两根之和、两根之积，然后结合其他知识综合求解.

例8:（2004年第1期数学奥林匹克）求出所有的实数a，使得关于x的一元二次方程5x-5ax+66a-1=0的两个根都是整数.

分析：设方程的两个整数为x，x（x≤x）.

由韦达定理有x+x=axx=.

消去a，化简得5xx=66（x+x）-1.

不难得到，（5x-66）（5x-66）=4351=19×229.下略.

以上是对在不等式、方程、函数中求解参数范围的基本解法的概况.当然除了以上介绍的方法外，因问题给出的题设条件不同，还会有其它的一些解法，有待于我们去研究与探索.

通过比较前面所介绍的方法，我们不难发现不等式、函数、方程之间紧密相关，可以相互转化，比如通过构造函数来解决不等式、方程中的参数问题，利用不等式来解决函数中的参数问题等，所以通过总结与比较，下面谈谈在求参数时数学思想方法的运用.

1.4数学思想方法的运用

1.4.1函数思想.

因为函数、方程、不等书之间有着紧密的联系，所以在解答不等式、方程的参数问题时，不妨构造适当的函数，利用函数的相关性质来解决，往往有事半功倍的作用.

1.4.2换元思想.

换元是数学中一种重要的思想方法，将题中的参数有选择的进行代换，使一些复杂的问题简单化.

1.4.3数形转化.

数和形是数学中最基本的两大概念，在一定条件下数和形可以相互转化，借助图形可以使许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化.运用数形结合的思想，根据参数问题的条件和结论之间的内在联系，寻找解题思路，使问题化繁为简，从而得到解决.

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1.4.4转化思想.

将陌生的问题转化为熟悉的问题，或对不易直接求解的问题转化为其等价的命题，从而使问题得到解决，比如将不等式问题转化为函数问题，利用函数来解决.

1.4.5分类思想.

所谓分类思想指将被研究的某个数学问题视为一个整体，然后根据一定的划分标准，将整体分为几部分，通过对这几个部分问题的解答，得到原整体问题的解答.通过分类，能把复杂问题化为单一的简单问题，从而解决问题.

2.引入参数解题

对于某些竞赛题，如果直接来解会显得比较繁琐，但是通过恰当地引入参数参与运算，往往可以使思路清晰过程简便.

2.1参数在解竞赛题中的几个辅助作用

例9:（2007年全国高中数学联赛陕西赛区）已知a，b∈，1.求证：+≤.

证明：

（方法一）a，b∈，1，b∈，，2b∈［1，2］.

a≤2b，a≥b，即2a≥b，

（a-2b）（2a-b）≤0，即2（a+b）≤5ab，

两端同时除以2ab，得+≤.

（方法二）令t=，则t∈，2，从而+=t+.

因为f（t）=t+在，1上单调递减，在［1，2］上单调递增，所以当t=或t=2时，f（x）=，命题得证.

以上对例题使用了不同的方法来解答，可以看出如果恰当地引入辅助参数来解题，不仅对揭示题设中的隐蔽条件及各条件的相互关系具有十分重要的作用，而且能很巧妙地解答问题.由此可以概括出以下内容.

2.1.1简化作用.

通过用参数去替换局部或整体，使命题结构发生改变，把一些复杂的结构简单化，抽象的问题具体化，这样有利于思考和解决问题.

2.1.2桥梁作用.

引入参数，恰到好处地沟通已知与未知条件之间的联系，为我们顺利地解答问题提供了线索，巧妙地将问题转移，比如在证明不等式问题中，可以通过引入参数，把证明问题转化成对参数的讨论来解决.

2.1.3转化作用.

参数可以改变原来问题的形式和要求，将原命题等价地转化成另一个命题，向我们熟悉的方向转化，有利于我们解决问题.

2.2应用参数解题的题型

通过分析，可以看出参数在解题的过程中具有十分显著的功效，那么，在什么类型的题目中采用参数来解题会更加方便呢？

2.2.1在有关分式问题中，不妨先考虑运用参数.

（1）题设中的分式是以连比的形式出现.例如：

若==，求的值.

（2）题设中有两个分式互为倒数.

（3）对于有些较复杂的分式，如果采用通分变形会使问题变得更加复杂，为了方便计算简化过程，可以用字母代替变量进行换元.部分换元是以新的变量代换原题中的某一部分，将原题转化为另一种形式；整体代换是从整体角度考虑问题，抓住问题与其它知识的联系，以新的变量代换原命题.

2.2.2证明不等式的问题.虽然不等式的证明方法因题而异，灵活多样，技巧性强，但是利用参数证明不等式却是其中相对来说比较简便的.

2.2.3若通过采用换元引参降低变元次数或将无理式有理化，则可以设参数解题.例如：

计算时，可以令x=，

则x=6+=6+x.

2.2.4若题设中涉及到曲线方程，则可以先考虑设参数方程，利用参数方程可以求动点的轨迹方程、变量的范围及最值问题等.

几种常见的参数方程：

（1）一般曲线的参数方程：x=f（t）y=f（t）（t为参数）

（2）过定点p（x，y），倾斜角为α的直线的参数方程是：x=x+tcosαy=y+tsinα（t为参数）

（3）圆C：（x-x）+（y-y）=r的参数方程是：x=x+rcosαy=y+rsinα（α为参数）

（4）椭圆C：b（x-x）+a（y-y）=ab的参数方程是：x=x+acosθy=y+bsinθ（θ为参数）

2.2.5求函数的值域问题.

2.2.6在某些应用题中常常有多个未知量，但并非都是题目要求的，有的未知量只起到动态描述的作用，却同要求的未知量密切相关，这种未知量叫做动态未知量.解这类含有动态未知量的应用时就要采用参数法，一般将动态未知量设为参数.

以上是对参数法在解题时的应用的简单分析，可见参数法不仅是一种数学方法，而且是一种数学思想，有着不容忽视的意义.

综上所述，可以看出参数问题涉及了多方面的知识，内容丰富，有利于培养学生的创造性思维.通过对求解参数范围问题基本方法的概括，对渗透的数学思想方法的简单的探索研究，以及对参数在解数学竞赛题中辅助作用的分析，不只能对基础知识加以巩固，同时还能加深对参数的理解，从而更好地应对竞赛中的相关参数范围问题.

参考文献：

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［5］易常文.参数法在数学解题中的应用［J］.中等数学，2000.12.

［6］张国良.例说参数取值范围的求法［J］.中学数学研究，2009，（3）.

［7］蔡振树.数学竞赛中恒成立问题的若干求解策略［J］.数学教学研究，2006，（6）.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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