中考数学中几何综合题例析

识图，巧用根的判别式：

例1：已知：如下图1ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC上的一点，以BD为直径作O，交AB于点E，连结CE交O于点F，BF的延长线交AC于点G，若BD、DC的长是关于x的方程（m2+1）x2-2（m+1）x+2=0的两根.

求证：GF·CA=CF·EA；

求tan∠BGC的值.

求作以线段AE、BE的长为根的一元二次方程.

第（1）问属于正常思路.第（2）问若求tan∠BGC的值，在RtBCG中需求出BC，CG的值，思路自然转到BD，DC的长是方程（m2+1）x2-2（m+1）x+2=0的两根上，如何处理BD、DC之间的关系将成为解决此题的关键，通过分析、识图发觉BD、DC有相等的可能，于是先用根的判别式（“？驻”）：？驻=[-2（m+1）]2-4（m2+1）×2=-4（m-1）2.因为BD、DC的长是方程的两个实数根，所以？驻≥0，而？驻=-4（m-1）2≥0，只有？驻=0，即m-1=0，m=1.从而突破难点，此题不再难解.

三角形相似、平行线分线成比例与圆幂定理的结合应用：

其实在解决这类问题中，较常用、较奏效的方法莫过于三角形相似、平行线分线段成比例与圆幂定理的结合应用，追溯哈尔滨近几年的中考试题中的第29题，还是以用三角形（包括构造三角形）相似、平行线分线段成比例，并结合圆幂定理的应用居多.

例2：已知：如图2，点O2是O1上一点，O2与O1相交于A、D两点，BCAD，垂足为D，分别交O1、O2于B、C两点，延长DO2交O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AC.

求证：∠BGD=∠C；

若∠DO2C=45°，求证：AD=AF；

若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根，求BD、BF的长.

本题仅介绍第（3）问的思路：

BF=6CD，设CD=K，则BF=6K.

连结AE，则AEAD，AE∥BC，=，AE·BF=BD·AF.

又由AO2E≌DO2C，AE=CD=K，6K2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）.

可求得：BC=3K，或BC=4K.当BC=3K时，BD=2K，此时？驻

除此以外还有其他寻求根之间的关系的办法：

例3：如图3，在RtABC中，∠ACB=90°，内切圆O与AB、BC、CA分别切于D、E、F三点，AO交O于M、N两点，交BC于G，已知O的半径为2，且AC、CG是关于x的方程x2-（2n+1）x+n2+2=0的两根.

求AC、AB. tan∠ADM的值.

下面简介寻求根之间关系的办法：

解：连结OF、OE，（OFOE）

可由OF∥CG求得=，，

=，

即2AC=CG·AC-2CG，

2（AC+CG）= CG·AC.

解方程，将根用系数表示：

例4：如图4，已知：四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于E，且ACBD，若AE2=BE·DE.

判断四边形ABCD的形状，

若AC=2BD，且AD、BC的长是关于x的方程，

x2-（2n+1）x+n2+n-2=0的两根，求n值.

以下仅介绍②问的解法：

方法（一）：由AE2=BE·DE推导ABE∽ADE，进而得到∠BAD=90°，解方程x2-（2n+1）x+n2+n-2=0，得x1=n+1，x2=n+2，由图知BC=n+2，AD=n-1，再由ABD∽ABC得，==，即tan∠ABD==，由于∠ACB=∠ABD，tan∠ACB==，可得BC=2AB=4AD，即n+2=4（n-1），解得n=2.

方法（二）：可以从BC=4AD起利用根与系数关系，

BC+AD=2n+1，

BC·AD=n2+n-2，

解方程组求n，此时n1=-3，n2=2，还需说明n1=-3不合题意，舍去，显然不如方法一简捷.

根的转移：

例5：如图5 RtABC中，AC=BC，AB=2，ADL，BEL，过C作直线L，AD、BE是关于x的方程x2-（m+3）x+m2+2=0的两根.

①当AB在L同侧时，判断AD、BE和DE的关系，并求DE的值.

②当A、B两点在L两侧时，画图并求DE，并判断AD、BE和DE的关系.

AD、BE从表面看似乎没有任何关系，然而要求DE的值时，尽管我们会由全等证出DE=BE+AD，但要求值，还得首先求出m，这就迫使我们不得不寻找两根AD、BE之间的关系，而此时将一根BE（AD）转移是再好不过的方法了.比如将BE转用DC代替（因为ADC≌CEB），两根就同时位于ADC中，由勾股定理即可建立两根之间的关系：AD2+DC2=AC2，而AC在等腰直角三角形ACB中，由AB=2可求得AC=，即AD+BE=（）2，从而恒等变形为可以用根与系数关系的形式，（AD+BE）2-2AD·BE=10，再将AD+BE=m+3，AD·BE=m2+2代入得到一个关于m的一元二次方程：（m+3）2-2（m2+2）=10，解得m=1或m=5，而当m=5时，？驻

第②问可同①理.

这类问题有的是直接转移根，有的也转移与根有关的等式，现再举一例仅供参考：

例6：如图6在RtABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，过C、D两点作O分别交AC、BC于E、F，交AB于G.

①求证：AE2+BF2=DE2+DF2；

②若AE2+BF2=85，且CE、CF的长是关于x的方程

x2-（2n+3）x+n2+2=0的两根，求CE、CF.

在解决①时，很多学生是这条思路，想从三角形全等证出AE=DF，DE=BF，但此路不通，提示：延长FD至M，使DM=DF，连结AM.可证AMD≌BDF，推出∠AMD=∠DFB，连结EF，可由∠ACB=90°得∠MAE=90°，连结EM，得AE2+AM2=EM2，因为AM=BF（AMD≌BDF），EM=EF（EDM≌EDF），故此，AE2+BF2=DE2+DF2（在RtEDF中，由勾股定理得）.①是②的桥梁，因为CE、CF是方程的两根，而CE2+CF2=EF2=DE2+DF2= AE2+BF2=85，再如前例将平方和变形成两根和、两根之积的形式即可求解.