正比例的意义范文

2019-08-03 版权声明

正比例的意义篇1

教学目标

1.理解成正比例的量和正比例关系的意义。

2.能运用有关知识初步判断两个量是否成正比例。

3.渗透函数的初步思想。

教学重点

理解正比例的意义并能正确判断。

教学难点

理解“相关联的量”和“相对应的数”等术语。

教学方法

多媒体演示;小组合作学习;自主探究。

教学过程

一、复习旧知,铺垫新知

1.已知体积和高度,怎样求底面积?

2.已知总价和数量,怎样求单价?

3.已知工作总量和工作时间,怎样求工作效率?

4.已知总产量和公顷数,怎样求公顷产量?

二、体验合作,自主探究

师:这是我们过去学过的一些常见的数量关系,这节课我们来进一步探知这些数量关系的特征。(板书课题:正反比例的意义)

1.师:看到课题,你想学会些什么?

2.探究正比例的意义

①拿一个圆柱形的杯子,往里面倒水,你有什么发现?

引导学生发现水的高度和体积的变化关系。

(课件出示例1)

②小组合作讨论:a.水的体积和高度有关系吗?b.水的体积是怎样随着高度变化的?c.相对应的体积和高的比值是多少?这个比值表示什么?

学生讨论后反馈:高度增加,体积也随着增加;高度减小,体积也随着减小。

小结:高度和体积是两种相关联的量,高度变化,体积也随着变化;体积和对应高的比值总是一定的。

③内化过程,加深理解正比例的意义。

出示图表:早晨7:10何佳同学走在上学的路上。

讨论下面的问题:①表中有哪两种量?它们是相关联的量吗?②仔细观察:路程是怎样随着时间的变化而变化的?③相对应的路程和时间的比分别是多少?比值是多少?

师引导学生理解以上问题,之后引出以下问题:观察以上两例,你发现它们有什么共同的地方吗?

生讨论后小结:①都有两种相关联的量。②一种量变化,另一种量也随着变化,且变化方向相同。③相对应的两个数的比值总是一定的。

小结正比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。

三、拓展延伸、巩固新知

1.议一议:人的身高和体重成正比例吗?为什么?

2.你对自己这节课的表现满意吗?满意的人数和不满意的人数成正比例吗?为什么?

3.一台碾米机碾米的情况如下表:

碾米机的碾米数量和工作时间成正比例吗?为什么?

4.完成课本中的“做一做”。

四、总结质疑

师:通过这节课,你有什么收获?

【课后反思】

在课堂教学中,教师可以通过联系生活实际引导学生理解什么是成正比例的量,体会数学与生活的紧密联系。对探究的过程教师不必做详细的引导和说明,而应提供研究的素材和数据,出示关键性的结论。应鼓励学生进行自主探究和合作交流,在这一过程中获得成功的体验。应引导学生观察、分析、比较、归纳,使其形成良好的思维习惯和思维品质。还应加深学生对数量关系的认识,渗透函数思想,为今后的数学学习做好知识准备。

正比例的意义篇2

【摘 要】正比例和反比例这部分内容学生在学习过程中,尤其是在练习时,往往容易弄错,混淆两者之间的关系。因此,正确区分正比例和反比例之间的关系,是非常必要的。

【关键词】正比例 反比例 关系

小学六年级的学生在学习正比例和反比例这部分内容时,尤其是在练习过程中容易混淆不清,经常弄错。下面,本文从不同的角度帮助他们正确区分这两者的关系,希望对他们的学习会有所帮助。

一、正确认识两者的意义

正比例和反比例的意义教材中是安排在从P39到P47来进行叙述讲解的,且都是通过对实验中的数据进行分析之后概括得出的结论,这样学生相对易于接受。

1.正比例的意义:教材中的表述是“两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。”

2.反比例的意义:教材中的表述是“两种相关联的量,一种量变化,另种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。”

二、 正比例和反比例的表达式

(一)正比例关系的表达式

如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以用下面的关系式来表示:

y/x=k(一定)或y =kx(k一定)

(二) 反比例关系的表达式

如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积(一定),反比例关系可以用下面的关系式来表示:

X×y=k(k一定)或y=kx(k一定)

三、正比例和反比例的规律及实质

1.正比例关系中两种相关联的量的变化规律。正比例关系中两种相关联的量的变化规律是:同时扩大,同时缩小,比值(或商)不变。

例如:汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例?

完成该题练习时,可以先写出路程、速度和时间三者之间的关系式:速度=路程/时间,已知条件中速度为一定(即常量),根据“速度=路程/时间”这一关系式,结合正比例的意义,即可知道所行的路程和所用的时间是成正比例关系的。也就是说,当速度一定时,走的路程越多,所花费的时间也越多,反之,亦然。换句话说,路程和时间是成倍增长或缩小的。

2.反比例关系的两种相关联的量的变化规律

反比例关系的两种相关联的量的变化规律是:一种量扩大,另一种量缩小,一种量缩而另一种量则扩大,积不变。

例如:当图上距离一定时,实际距离和比例尺是否成反比例? 因为实际距离×比例尺=图上距离(一定) ,所以,实际距离和比例尺是成反比例的。

四、正比例和反比例的异同点

(一)正比例和反比例的相同点

1.在事物关系中都包含有三个量,即有两个变量和一个常量(即定值)。

2.在相关联的两个变量中,当一个变量发生变化时(扩大或缩小),则另一个变量也随之发生变化。

3.它们相对应的两个变量的积或商都是一定的(即常量)。

也就是说,在正比例和反比例的两个相关联的变量中,均是一个量变化,另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大(乘以一个数)或缩小(除以一个数)若干倍的变化。

(二)正比例和反比例的不同点

1.正比例的定量(或定值)是两个变量中相对应的两个数(即变量)的比值(或商)。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。

2.当用图象来表示正比例或反比例中两个变量之间的关系时,所画出来的图象是不一样的。正比例的图象是一条倾斜的直线(又叫斜线)。反比例的图象是一条曲线,且两端永远不会与两条轴线(即横轴和纵轴或函数中所称的x轴和y轴)相交。

(三)正比例、反比例之间可以相互转化

当正比例中的x值(自变量的值)转化为它的倒数时,由正比例转化为反比例;当反比例中的x值(自变量的值)也转化为它的倒数时,则由反比例转化为正比例。

需要说明的是,教科书中在“正比例和反比例的意义”的讲解中,并没有指出正比例和反比例关系表达式中常量和变量的取值范围。根据正比例的关系式y/x=k(一定)和反比例的关系X×y=k(k一定)可以知道,无论是正比例还是反比例,两个变量x、y和常量k均不能为零。试想,在正比例y/x=k(一定)中,如果x为0,式子无意义;如果y为0,x不为0,则x的值是不确定的(这时候k的值为0),此时x和y就不存在正比例的说法了。同样,在反比例X×y=k(k一定)中,如果x和y两个变量中,只要其中一个为0或两个都同时为0,则k的值都为0,x和y也无所谓反比例关系了。再说,如果x和y同时为0的话,那么x和y也不叫变量了,都不符合反比例的意义。所以,无论是正比例关系,还是反比例关系中,两个变量x和y以及常量k都不能为0。

因此,当正比例或反比例关系中其中一个变量用字母表示时,要求我们通过讨论确定另一个变量的取值范围的时候,我们就要注意正比例或反比例关系中两个变量的取值绝对不能为零,否则,就失去意义了。

【参考文献】

1.卢江、杨刚主编,义务教育课程标准实验教科书小学六年级《数学》下册[S],人民教育出版社出版。

2.谢鼓平主编,小学六年级数学《教案与设计》[S],新疆青少年出版社出版。

3.《贵州教育》[J]2012年第3-4期合订本第65页中《小学数学毕业复习建议》(王艳)

正比例的意义篇3

【设计理念】

正比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量变化规律的数学模型,是学生进一步学习一次函数的重要基础。正比例的教学需要关注学生的原有知识基础,了解学生对正比例意义的认识程度。通过学情调查,我发现:首先,学生对常用数量关系的理解比较清楚,给出两种相关联的量,他们能够写出数量关系式;其次,学生不清楚如何从变量的角度来认识两者之间的关系,也不知道正比例的知识在日常生活、生产中的应用情况。

明晰了学生对这一教学内容的认识程度后,从学生的认知规律出发设计教学是达到良好教学效果的最佳路径。本节课,我不断地让学生开展自主学习,经历知识的形成过程,在比较讨论中进行观察,并归纳出正比例的意义。

1.理解两种相关联的量。

出示四张表格,让学生找有紧密联系的两种量。学生通过讨论得出一种量变化,另一种量也随着变化时,这两种量就是相关联量的认识。让学生体会到这是两个变量,两种量变化时有时趋势相同,有时趋势相反。

2.理解相关联的量的变化特点和规律。

根据表二、三、四中数据的特点进行讨论,知道每个表格中两种量都是一种量变化,另一种量也随着变化。表二中两种量的积不变,表三和表四中两种量的比值不变。

3.两次比较,得出正比例的意义。

经过讨论交流,将三个表格分为两类,接下来进行两次比较。第一次比较表二与表三、表四的区别。表二中两种量变化的趋势相反,乘积一定;而表三和表四中的两种量变化趋势相同,比值一定。第二次比较表三和表四的相同之处,即都有两种相关联的量,两种量相对应的比值一定,最后归纳出正比例的意义。

4.深刻理解正比例的意义,建立正比例意义的数学模型。

首先,让学生在巩固练习中进一步理解正比例的意义;其次,给出三组相关联的量,让学生任意选择一组或自己想出两种量,根据要求在表格中填上数据,使得两种量成正比例。学生在自主讨论、填表的过程中深刻理解正比例的意义。

5.了解正比例的意义在生活中的实际运用。

课始,引导学生观察古人用水钟计时。学习了正比例的意义后,让学生用正比例的知识解释水钟计时的道理,体会正比例的运用。课尾,通过现代的科学实验,让学生体会到正比例的意义的实际应用价值,丰富学生的数学学习情感。

【教学目标】

1.使学生结合具体事例认识成正比例的量,理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例,并能说明理由。

2.使学生在认识成正比例的量的过程中,体会数量之间的联系和变化关系,感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型,渗透函数思想,进一步培养比较、抽象、概括、演绎等思维能力。

3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系,了解正比例的意义在生活中的实际应用。

【教学活动及意图】

一、谈话导入,激发兴趣

提问:现代人通过钟表计时,古代没有钟表,人们是怎么计时的呢?

动画演示并说明:这是水钟的示意图,上面是出水壶,下面是受水壶,受水壶身有刻度。水从上面的出水壶流入下面的受水壶,人们根据受水壶中水面的高度来确定时间。

追问:水钟里隐藏着什么数学知识呢?学完今天的知识你就知道了!

【通过动画演示古代水钟计时的画面,激发学生的学习兴趣。】

二、引导探究,理解意义

1.理解相关联的量。

出示四个表格:仔细观察每个表格中的两种量,每个表格中的两种量有联系吗?

提问:如果要去掉一个表格,你们选择去掉第几个统计表,为什么?

提问:你能说一说其他几个表格中的两种量有怎样的联系吗?

整理:表二中总人数不变,分的组数和每组人数在变化。

根据表二中分的组数、每组人数的变化情况,引导学生说出:表二中“分的组数变化,每组人数也随着变化”;表三中“时间变化,路程也随着变化”;表四中“数量变化,总价也随着变化”。

说明:像这样有紧密联系的两种量,在数学上称为“两种相关联的量”。

【观察表格,学生发现有联系的两种量,存在着变与不变的关系。学生体会到当一种量变化另一种量也随着变化时,这两种量就是两种相关联的量。】

2.研究两种相关联量的变化特点和规律。

提问:观察表二、三、四中的数据,你有什么发现?

(1)观察表二

师:表二中都是48个人,你能具体说一说分的组数和每组人数的变化规律吗?

课件演示:分的组数和每组人数是两种相关联的量,组数变化,每组人数也随着变化。

2×24=48 3×16=48 4×12=48……

分的组数×每组人数=总人数(不变)

(2)观察表三

课件演示:时间和路程是两种相关联的量,时间变化,路程也随着变化。

师:也可以将除法写成比的形式。

(4)分类比较

提问:同桌讨论,现在让你把这三个表格分分类,你会分成几类?为什么?

说明:可以分成两类,表二中是积不变,表三和表四中是比值不变。

师:积不变的时候,你能具体说说两种量是怎样变化的吗?比值不变的时候呢?

说明:表二中一种量变大,另一种量反而随着变小。表三和表四中一种量变大,另一种量也随着变大。

说明:今天,我们就来研究变化趋势相同的两种量,就是像表三中这样相对应的两种量比值不变的情况。

【第一次比较,学生发现两种相关联的量在变化时,有的是其中一种量变大,另一种量反而随着变小,变化趋势正好相反;有的是其中一种量变大,另一种量也随着变大,变化趋势相同。】

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