《正比例》教学实录与评析

【摘要】本文根据《正比例》一课的教学实录，分析说明了如何让学生经历“观察数量―发现关联，探索规律―对应观察，计算比值―明确规律，表征关系―揭示概念，字母表征”这一过程。

【关键词】正比例 教学实录 评析

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）12A-0061-03

教学内容：人教版义务教育教科书数学六年级下册P45-46。

教学目标：

1.结合丰富的实例，使学生理解相关联的量，理解正比例的意义，掌握正比例的量的变化规律。

2.让学生能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。

3.让学生认识正比例关系的图象，能根据给出的正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图象，会根据其中一个量在图象中找出或估计出另一个量的值：体会数形结合的思想。

教学重难点：

重视概念的理解，强调概念的应用，让学生经历“观察数量―发现关联，探索规律―对应观察，计算比值―明确规律，表征关系―揭示概念，字母表征”这一过程。

教学过程：

一、课前谈话引入

1.“水涨船高”是什么意思？（水位升高，船身也随之浮起。比喻事物随着它所凭借的基础的提高而增长提高。）

【过渡】水的变化引起了船的变化，船与水是相关联的，数学中也存在着相关联的量。

2.女孩0-5岁年龄与体重生长曲线图。你发现了什么？（体重随着年龄的变化而变化，年龄与体重是两种相互依赖的相关联的量）

3.生活中还有哪些这样相关联的量？

（学生交流）

【评析】大量实例证明两种相关联的量在我们现实生活中是广泛存在的。只要是一种量变化，引起另一种量发生变化，那么这两种量就是相关联的量。

看似轻描淡写实则用学生最熟悉的知识，解释“相关联”的含义，并加强了语数知识的联系。其实教学中并没有直接进入典型的正比例关系这样一个话题，但数学与生活息息相关，概念的发生形成过程就是现实模型的直接反映。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到了奠基作用。

4.小明步行回家的时间和路程如下图。（表一）

师：路程和时间是相关联的两个量吗？8分钟行多少米？

仪仗队通过天安门的时间和路程如下图。（表二）

师：8分钟行多少米？走600米需要多少分钟？

（学生回答）

师：前面两个表都是关于步行时间和路程的统计表。为什么表一不能确定准确地得出与8分钟相对应的路程，而表二通过推算和简单的思考，却能够确定出准确的路程呢？

（学生思考，讨论）

生1：因为仪仗队每分钟走的路程是一样的，而小明每分钟走的路程不一样。

生2：速度不变。

生3：都是60米。

师：你们是怎么看出速度都是60米？

生1：路程÷时间=60。

生2：60[∶]1=120[∶]2=180[∶]3=…=60。

师：原来速度60是隐含的，题目中没有，需要我们动脑筋才能找到。（总结：虽然时间和路程这两种相关联的量是在不断发生着变化，但是，两种量中相对应的数据的比值，也就是他们所步行的速度是保持不变的，在数学上把这个不变的量叫常量或常数，在小学叫一定。这两个变化的量叫变量，小学叫相关联的两个量。根据这个不变的量和其中一个变量就能得到相对应的另一变量，这就叫“以不变应万变”）

师：小明呢？没有一定的量，也就无法算出8分钟准确的对应量。

【评析】波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”。有些难以理解的概念还可以用对比的方法，化难为易，揭示本质。学生通过对比发现，同样是路程和时间这两个相关联的量，表二的路程和时间有规律――比值一定，而表一的路程和时间没有规律。教师在教学中运用这样的教学方法，不仅使学生掌握了比较法，更重要的是通过长期的训练，使学生的观察、分析、比较、综合等能力有所提高，而能力的提高又会促进和推动学生掌握知识，因此，教师在教学过程中要系统地示范、指导，使学生学会思考，学会学习，真正成为学习的主人。

师：下面请同学们自学P45例1，回答两个问题。

1.完成例1下面三个问题。

2.对比上面两个表，例1与哪个表类似，它们有什么共同点？

二、新知探究

（一）教学正比例意义

出示例1：文具店有一种彩带，销售的情况如下表，你发现了什么？

1.表中有哪两种量？

生：数量和总价。

2.总价是怎样随着数量的变化而变化的？

生1：总价随着数量的变化而变化。

生2：总价随着数量的增大而增大。

生3：数量扩大多少倍总价就扩大多少倍。

3.相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？

师：对比上面两个表，例1与哪个表类似，它们有什么共同点？

生：例1与第2个表类似，都是比值一定。

师：像这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。我们在判断两个量是否成正比例关系，必须要满足哪些条件？小明所行走的路程与时间是否成正比例关系？

如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用[yx]=k表示。

【评析】让学生在比较与思辨中反衬和突出事物的本质特征，从而更准确地认识概念。

4.练习

（1）正方形的边长和周长成正比例关系吗？为什么？（周长÷边长=4）

（2）正方形的面积和边长成正比例关系吗？为什么？（面积÷边长=边长）

（3）小新跳高的高度和他的身高。

（4）书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。

（5）圆柱的高一定，它的体积与底面积。

师总结：通过刚才几道练习题，你想说点什么？（提示：不但可以根据提供的相对应的数据关系进行判断，还可以通过公式计算出相对应两个量的比值来加以判断）

【评析】像正比例这样概念属性比较多，小学生很难同时注意几件事情，常常会“丢三落四”，“相关联的两个量，比值一定”这两个条件缺一不可。教师在帮助学生理解概念时，出示上面的题目，会给学生以深刻的印象，甚至终生难忘。

（二）正比例图象

师：更神奇的是，我们把例1表格中的两个量中相对应的数都看作一个数对，然后在方格纸上画出来。你发现了什么？

（1，3.5）（2，7）（3，10.5）（4，14）…

师：（1，3.5）对应的位置在哪里？

生：跟以前学过的数对和折线统计图的描点方法一样。

师：把这些点连接起来是什么？

生：线段。

师：把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，与上面的图象连起来并延长，这条线段可以向两端怎样延伸？（0，0）表示什么？怎样可以说明每个点相对应的两个数的比值是相等的？

师总结：正比例图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，这条线上所有点所对应的两个量的比值都相等。

师：不计算，如果买9米多少元？花49元能买多少米？这条线上所有点所对应的两个量的比值都相等。

师总结：我们直接利用正比例图象，根据其中一个量的值找到另一个量的值，这样解决问题更直观更便捷。

师：如果买a米布，用去b元，你能在图象上找到这个点吗？本题有不同的方法：1.假设两个具体的米数，找到相应的总价，再比较。2.通过比例的基本性质，发现米数之比等于总价之比。

【评析】学生通过动手操作，一步步描出正比例图象，直观感受到它的图象是一条射线，而这条射线上的每一个点都对应着一组相关联的量，利用这数形结合的方法可以让学生更直观、便捷地解决问题，并体会到函数的思想和数形结合的数学思想。

三、拓展练习

1.呼应前面

师：看图象判断女孩0-5岁年龄与体重成正比例关系吗？为什么？

2.根据图象，发现什么？

3.金字塔的高度测量。

在金字塔建成的1000多年里，人们都无法测量出金字塔的高度――它们实在太高大了。

泰勒斯――第一个测量出金字塔高度的人，希腊最古老的哲学家、自然科学家、几何学家，是古希腊“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者。

【总评】正比例的意义与以前学习的数量关系解决问题不同，是要从一种运动和变化的观点去理解数量间的关系，要通过观察、分析两种数量之间的变化情况、变化规律，进而达到对两个变量关系的进一步理解。因此，学生对数量关系的认识和思考将从以往的静态过渡到今天的动态观察分析，乃至于抽象概括上来。这种研究问题的角度，对学生来说还是比较陌生的。因此，让学生正确理解正比例的意义，培养学生以一种运动和变化的观点来看待生活中的现象，分解概念的难度，是本节课的重点和难点。

亮点一：数学从生活中来，到生活中去

数学来源于生活，又运用于生活。本节课一开始教师出示了学生熟悉的成语“水涨船高”，自然地引出了“相关联”这个词语。接着，是一个女孩的体重变化情况，引导学生认识：只要是一种量变化引起另一种量发生变化，那么这两种量就是相关联的量，从而理解“相关联”的含义。课中出示小明和仪仗队的路程时间表，练习是运用正比例知识计算金字塔的高度。正比例概念比较长，理解起来比较麻烦，本节课设计由易到难，首尾呼应，搭起了数学知识与生活实际的联系，学生学得轻松，学得有趣。

亮点二：数学思想方法的渗透

探究学习是学习数学的基本方法之一，也是研究解决问题的重要方法。本课教学中，通过观察两个表格，引发学生进一步思考，使学生意识到虽然时间和路程这两种相关联的量在不断发生着变化，但是表1比值不相等，表2比值相等，由此渗透了对比的方法。为了进一步丰富学生的感知，教师让学生自学书P45例1，引导学生进一步探究发现两种相关联的量，一种扩大（或缩小）若干倍时，另一种也扩大（或缩小）相同的倍数，而且这两种数量对应的数的比值始终不变。找出共性后教师进行归纳总结，从而促进学生深刻理解正比例概念的本质特征。通过比较辨析，学生能顺利地把握住所学知识的本质特征，典型的反例会给学生留下深刻的印象，甚至终生难忘，这对学生理解掌握数学概念，运用数学知识起到了很大的作用。最后还渗透了函数的思想和敌谓岷纤枷耄学练结合。

（责编 黎雪娟）