数列求和方法范文

数列求和方法篇1

2、倒序相加法。倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。

3、分组求和法。分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。

4、错位相减法。错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

5、裂项相消法。裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

6、乘公比错项相减（等差×等比）。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

7、公式法。对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

8、迭加法。主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。

数列求和方法篇2

关键词：数列求和；高中数学；解题方法

数列求和是高中的重点内容，也是难点内容，很多学生对数列求和的内容感到困惑，甚至将它当做最头疼的难题.其实，高中数学的数列求和并没有那么复杂，在通过分层次练习，总结经验，然后找出规律，并应用于实践，通过反复的练习―总结―再练习的过程，就能总结出属于自己的数列求和学习方法，也能找到属于自己的数列求和方式. 下面对四种数列求和方法的应用展开实例分析.

裂项相消法，找出通式规律

裂项相消法是高中比较常见的数学解题方法，在对待数的问题上，如果能采用裂项相消法，就会发现这就是题目的关键，也就是题目的突破口，从而题目的解答过程就会变得比较容易. 裂项相消在小学奥数题目中也有所涉及，在高中数学的数列求和中，将小学和初中数学相关问题进行了深化和综合应用，所以，高中数学是对以前数学学习基础的总结和归纳，找出了每个步骤和阶段的循序渐进过程，将这些步骤条理进行梳理，就是高中数学数列求和的方法了.

理论分析：裂项的核心是将数列的通式裂成两项，观察出规律，从而在求和时进行相互抵消，比如适合于通项类似于 （an是各项不为0的等差数列，C为常数.）的数列. 运用裂项求和时，通用的公式为：

（1） = - ；

（2） = - ；

（3） = - ；

（4） = （ - ）.

例1 已知有数列{an}满足a1=1，a2= ，an+2= an+1- an（n∈N*），求：

Tn= + + +…+ .

解：分析题目，首先根据an数列的已知关系，分析出其内在隐含的条件，然后根据求和的各项的通式，找出求和的各项之间的关系，从而进行转化，将其转变为可以裂项相消的模式. 具体分析如下：

由已知条件，得an+2-an+1= （an+1-an），所以{an+1-an}是以a2-a1= 为首项， 为公比的等比数列，故an+1-an= .

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+ + +…+ =21- .

所以 = = ・ - ，

Tn= + + +…+

= - +…+ - = 2- .

实例总结：该题的解题思路和过程比较复杂，涉及的知识点也比较多. 在学生进行解题的过程中，或许会感觉到无从下笔，并且百思不得其解.解题关键是找出题目的题眼，由题目给出的条件，找出其变式，获得突破口.

并项求和法，利用求和解题

高中数学是思维引导性质的教学，是以提升学生能力，并且促进学生能够获得更多的学习方法和学习经验为目的的教学. 高中数学每个学习方法和学习经验的总结，都需要加强练习，反复地进行思考和探索，找出题目的相同点和不同点，对于学生的学习盲区，进行规范性的引导，坚持高中数学教学过程中以学生为本，激发学生的创造力和实践能力，培养更多的思维性强并且有独特想法的现代化人才.

理论分析：并项求和法与分组求和法有相似之处，它的规律也比较明显，针对并项求和的相关题目，一般都具有显而易见的规律让我们分析，采用先试探、后求和的方法来进行.首先根据题目给出的一些已知条件与要求和的式子，找出数字之间的规律，并进行分析，将其转换为比较好理解的形式或者是比较容易对比的模式，再进行分组求和，最后将所有和都列举出来，求其总和. 比如，类似于1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n式子的求和，它就有三种解法：并项求和方式，先分别求出奇数项和与偶数项和，再将两个和相减；分组法，将其相邻的两个数字分成一组，然后计算出每组的和，发现每组和的规律，最后进行总体求和，也就是（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+[（2n-1）-2n]；构造法，构造出新数列，将题目构造成我们常见的等差数列或者是等比数列，从而进行相关的运算，也就是an=（-1）n（n+1）（n从0开始）.

例2 数列{an}的前n项和是Sn（n∈N*），若数列{an}的各项按如下规则排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若存在自然数k（k∈N*），使Sk

解：

S1= ，S3= + = ，S6= + =3，S10=3+ =5，

S15=5+ = ，而 =3，这样S21= >10，而

S20= + = + < + =10，故ak= ，所以答案为 .

例题总结：本例对于一般学生来说，并没有复杂性，只是将相关的并项求和方法作为介绍. 在高中数列求和的过程中，找规律一直都是解题的第一步，不管是已知条件的规律，还是要求和题目的规律，都需要学生去挖掘和探讨. 找到规律之后，根据规律顺藤摸瓜，然后继续探索题目的奥秘. 规律是引导我们向着我们熟悉或者是学过的方向走，简化解题方法和步骤，从而正确解决题目.

错位相减法，简化求和思路

错位相减法是高中等比数列求和公式在证明过程中给出的一种方法，对于错位相减法，学生应该熟练掌握，并学会融会贯通，在应对类似于等比和等差组合起来的数列求和的问题时，错位相减法具有比较实用的意义. 高中数学教学过程中，教师应该注重对课本知识精华的提炼，让学生对其进行总结和吸收，抓住核心，进行思维扩展和延伸，从而获得不一样的知识体验.

理论分析：转换一种角度，转换一种模式，就会转换出一种思路，转换出一种思想. 在高中数学中，等比数列和等差数列是基本的数列，然后由这些基本数列，又可以转换不同的方式组合成其他比较复杂的数列形式. 错位相减法，一般需要将题目中给出的数列，进行转换，得出由等比和等差共同组成的数列形式，然后设这个和为S，由S乘以等比数列的倍数，得出qS的值，然后由前一个S减去后面的qS，得出一个完全的等比数列以及其他剩余项的和，最后除以S系数，就可以得出最后的结果了.

例3 已知数列{an}是首项为a1= ，公比为q= 的等比数列，设bn+2=3log an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an・bn，求数列{cn}的前n项和Sn.

解：根据题意，an= n（n∈N*），又bn=3log an-2，所以bn=3n-2（n∈N*）. 所以cn=（3n-2）× n（n∈N*），

所以Sn=1× +4× 2+7× 3+…+（3n-5）× n-1+（3n-2）× n，

从而 Sn=1× 2+4× 3+7× 4+…+（3n-5）× n+（3n-2）× n+1，

两式相减，得出：

Sn= +3 + +…+ -（3n-2）× n+1= -（3n+2）× n+1，所以Sn= - × n.

例题总结：根据该题的分析，可以看出，运用错位相减法解题，是要构造出等比数列与等差数列的组合形式，比如An=BnCn，然后设立出函数S=B1C1+B2C2+B3C3+…+BnCn，得出等比数列的公比q，然后得出qS的表达式，由S-qS，计算出S的最终计算结果. 本题比较鲜明地给出了类似题型的错位相减的计算方法，这也是作为一个类型，可以当做知识储备，以便今后在实际应用中加以利用和分析，得出计算结果.

倒序相加法，探寻题目题眼

倒序相加法来源于课本，在推到等比数列公式的时候，得出的一种计算方法. 它是高中数学求和计算方法中比较常见，也比较重要的一种方法，在高考题型中，一般作为压轴题的解题关键出现，所以学好倒序相加法，是非常关键，也是非常重要的.

理论分析：倒序相加法，顾名思义，就是将需要求和的表达式倒过来，然后每项对比相加. 前提是首先观察题目，可以发现首项和尾项相加可以得到一个常数或者比较简单的计算式，这样运用倒序相加法才有意义.

例4 请证明：C +3C +5C +…+（2n+1）C =（n+1）2n.

解：由C =C 可用倒序相加法求和

令Sn=C +3C +5C +…+（2n+1）C （1），

则Sn=（2n+1）C +（2n-1）C +…+5C +3C +C （2）. 因为C =C ，

所以（1）+（2）有：2Sn=（2n+2）C +（2n+2）C +（2n+2）C +…+（2n+2）C ，

所以Sn=（n+1）[C +C +C +…+C ]=（n+1）・2n，等式成立.

例题总结：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）；

Sn=a1+a2+a3+…+an；

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+…+a1；

上下相加得到2Sn，即Sn= .

倒序相加法追求的是数列中第一项和最后一项，然后慢慢向其中靠近的数学规律，它是比较基本的一种数列求和方法，也是高中数学学习中必须掌握的一种解题方法.

上文提到的数列求和方法有裂相相消、并项求和、错位相减、倒序相加这四种. 这四种方法在解答高中数学中数列相关问题时具有普遍性和实用性，数列求和中，还有直接求和、公式求和、分组求和、归纳猜想、奇偶法等等. 数列求和时注意方法的选取，关键是看数列的通项公式；求和过程中注意分类讨论思想、转化思想的运用. 在高中数学学习的过程中，需要熟练掌握这些解题方法，并多多练习，从而构建自己的知识体系结构和解题方法架构，从而使得自己能在高考中得心应手.

数列求和方法篇3

一、 化归为特殊数列：等差（比）数列

例题1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12,an=-2SnSn-1(n≥2)，求an．

分析 关于通项an与Sn的关系式，常用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2, 将其转化为Sn的递推式，或转化为an的递推式，本题适宜转化为Sn的递推式。

解 当n≥2时，由题设得Sn-Sn-1=-2SnSn-1，得1Sn-1Sn-1=2，

即1Sn是以1S1=2为首项，2为公差的等差数列，故1Sn=2+(n-1)•2=2n，即Sn=12n,n∈N*，

于是当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2•12n•12(n-1)=-12n(n-1)，an=12,n=1，-12n(n-1),n≥2.

点拨 类似地，递推式an+1=banaan+b(b≠0)，可变形为1an+1-1an=ab，可知1an成等差数列。

例题2 已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,….求数列{an}的通项．

分析 将点的坐标代入函数关系式，便可得an的递推关系式。

解 由已知得an+1=a2n+2an，所以an+1=(an+1)2-1，即an+1+1=

(an+1)2，

因为a1=2,所以an+1>1.两边取对数，得lg(an+1+1)=2lg(an+1)，令lg(an+1)=bn，得bn+1=2bn,n∈N*，所以{bn}成等比数列，所以bn=2n-1lg3，即lg(1+an)=2n-1lg3，所以an=32n-1-1．

点拨 一般地，递推式an+1=aqn(q≠0,0

二、 化归为常见基本型

(1) an+1=an+f(n)型；

(2) 若f(n)是常数，则递推式an+1-an=d，数列{an}为等差数列；

(3) 若f(n)是一次函数（或二次函数），则递推式an+1-an=kn+b（或an2+bn+c）符合叠加法的特征.

例题3 数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn(c是常数，n=1,2,3,…)，且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列．

(1) 求c的值；

(2) 求{an}的通项公式．

解 (1) c=2.过程略；(2) 当n≥2时，由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,叠加得an-a1=［1+2+…+(n-1)］c=n(n-1)c2.又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3…)，当n=1时，上式也成立．所以an=n2-n+2(n=1,2,…).

三、 化归为特殊型

（1） an+`1=qan+f(n)(q为常数，q≠0且q≠1)型；

(2) an+1an=mn+bk(mn+c)k(k≠0,m≠0,b-c=pm,p∈Z)型、an+1an=kn(k≠0)型

或an+1an=kmn(k≠0,m>0且m≠1)型．

例题4 已知数列{an}，a1=1,an+1=2an+3n,n∈N*，求通项公式an．

解 设an+1+x•3n+1=2(an+x•3n),得an+1=2an-x•3n，比较系数，得：-x•3n=3n，即x=-1.

所以an+1-3n+1=2(an-3n)，又a1-3=-2，所以数列an-3n是以-2为首项，2为公比的等比数列，所以an-3n=-2•2n-1,即an=3n-2n，n∈N*.

点拨 本题防止把an+1+x•3n+1=2(an+x•3n)设成an+1+x=2(an+x)。

例题5 已知数列{an}，a1=1,an > 0,n+1a2n+1-na2n+an+1an=0,n∈N*，求通项an．

解 由n+1a2n+1-na2n+an+1an=0得： ［(n+1)an+1-nan］(an+1+an)=0，因为an>0,所以an+1+an>0，所以(n+1)an+1-nan=0，得：an+1an=nn+1.所以an=1×12×23×34×…×n-1n=1n．

以上介绍的求数列通项公式较为常见，求数列通项公式的方法有很多，限于篇幅不能一一列举，希望同学们在平时训练过程中能注意积累，灵活掌握求数列通项公式的方法。

牛刀小试

1. 已知数列{an}满足a1=3,2an-an+1=n(n+1),n∈N*，求通项an．

2. 已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).求{an}的通项公式.

3. 已知数列{an}，a1=1,an+1=2an+3,n∈N*，求数列{an}的通项公式．

4. 已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+3n,n≥2，求数列{an}的通项公式．

5. 已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，求

{an}的通项公式．

【参考答案】

1. an=1+2n.（提示：an+1-an=2n+1-2n,叠加相消）

2. an=3n-12.（提示：an-an-1=3n-1(n≥2)，叠加即可，注意讨论n=1）

3. an=4•2n-1-3，n∈N*.（提示：令an+1+t=2（an+t)，计算出t=3即可得等比数列）

4. an=3nn-23,n∈N*.（提示：此题和例题4的解法有区别，在等式两边同时除以3n得：

an3n=an-13n-1+1，得数列an3n为等差数列）

5. an=1,n=1，n!2,n≥2. 提示：当n≥2时an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，①

当n≥3时an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)•an-2，②

两式相减，得an-an-1=(n-1)an-1，显然an-1≠0，则anan-1=n，得a3a2=3,a4a3=4,…，an-1an-2=n-1，

又a2=a1=1，所以an=a2•a3a2•a4a3•…•an-1an-2•anan-1=1×3×4×…×(n-1)×n=n!2，n∈N*，n≥2,

所以an=1,n=1，n!2,n≥2.

数列求和方法篇4

关键词：高中数学；数列问题；解题思路

高中数学的数列问题解题方法思路灵活多样，其中包含递推思想、函数思想等许多数学思想和方法，因此，掌握和灵活运用数列问题的解题思路和技巧对提高数学思维能力有重要作用。笔者作为一名高中数学爱好者，结合高中数学学习实践，对数列问题的求解思路和方法进行总结，希望对数列部分的学习有所帮助。

一、运用化归的思想和方法求解数列问题

数列的通项公式、前n项和公式和数列知识应用是整个高中数列解题的核心问题。在数列问题的解题中，求通项公式对解决数列问题来说非常重要。其解题方法多种多样，其中许多数列问题可以用化归的思想方法，把问题转化成等差（比）数列问题进行解决，这样就能非常方便地进行求解。

例1.把数列问题转化成等差型数列an-an-1=f（n）形式求通项公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解题分析：对于此类等差型数列，常采用叠加法进行求解。

an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，an= 。

解题要点：用该方法求通项公式，一是叠加后等式左边能进行错项相消，二是等式右边要能容易求和。

例2.把数列问题转化成等比型数列 =f（n）形式求通项公式。

已知a1=1， = 求：通项公式an。

解题分析：对于等比型数列求通项公式，一般采用把若干等式的左右两边分别相乘的方法，即累乘方法来求通项公式。

= ， = ， = … = 。

把这些等式左右分别相乘可得： = ，an= 。

要求：运用累乘方法求通项公式，要求等式两边能够化简。

二、运用函数和方程的思想求解数列问题

运用函数的概念与性质对数列问题进行分析转化，从而使数列问题容易求解；运用方程的思想求解数列问题，就是从数列问题的数量关系出发，把数列问题转化成方程或不等式的形式来使问题得到解决。运用这两种方法求解数列问题，要注意挖掘问题中的隐含条件，建立函数解析式和方程式是其解题的重点。

例3.有等差数列an，其前n项之和是Sn，a3=12，S12>0，S13

（1）求公差d的取值范围；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并讲出原因。

解题分析：（1）在本题中利用方程（不等式）的思想就比较容易求解问题，通过利用通项公式an和前n项和公式Sn来构建不等式就能方便求出公差的范围。（2）对于在数列问题中求前n项和的最大值问题，利用函数的思想和方法，把Sn的表达式转化成二次函数，这样问题就变成求函数的最值问题，此题就容易解

决了。

解题思路：（1）a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d0156+52d

（2）求Sn的函数表达式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，d

对于本题还可以换另一种思路来求解，即通过求出an>0，an+1a3>…>a13，根据S13=13a70，可得出S6的值最大。

三、运用数学归纳法求解数列问题

数学归纳法也是求解数列问题的常用基本方法之一，运用归纳法其关键是要证明n=k+1时命题成立，该方法也是由递推来进行归纳的解题方法。

例4.假设有an= + + +…+ ，n∈N

证明： n（n+1）

解题分析：此题和自然数n相关，可运用数学归纳法求解证明。当n=1容易求证，重点在于求n=k+1时，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入 ，再与所证明的结论进行比较来求解。根据归纳法的步骤，其求解思路如下：

当n=1时，an= ， n（n+1）= ， （n+1）2=2，n=1时结论成立。

假设n=k时结论成立，即有， k（k+1）

当n=k+1时，只要证明下式成立即可：

k（k+1）+

可先证明结论左边式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再证明结论右边式子： （k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。

（k+1）（k+2）

解题思路要点：本题在解题中适当运用了缩放法，即分别将 缩小成了k+1和将 放大成了k+ ，这两步的放与缩是证明结论成立的关键步骤，如何缩与放要与结论进行比较后确定，但要按照适当的原则进行缩与放。

总之，在数列问题的解题中思路方法比较多，只要灵活运用各种解题的思路和方法就能高效快速地求解数列问题。

参考文献：

[1]毛裕洁.高中数学数列问题的解题技巧[J].科技风，2016（23）.

数列求和方法篇5

关键词：学生；知识；数学思想

数列在高中数学中具有举足轻重的作用，在高考中不仅会通过小题考查该知识点，大题也常常会出现，数列的解法虽然复杂但并不难，往往都有相似的题型可以参考，掌握数列的题型是我们能够正确解题的基础，在此基础上举一反三才能融会贯通，遇到题目不慌不忙找出正确的解题思路。下面，我们从高考数学以及数学竞赛试题出发，来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、利用等差、等比数列求和公式

这是数列求和的基础所在，数列求和的主要公式可以分为三大类：等差数列求和公式、等比数列求和公式、常用的数列求和公式，为更复杂的题目打好基础：

例1：已知log3x= ，求x+x2+…+xn+…的前n项和。

首先通过log3x= 解得x= 。

由等比数列求和公式x+x2+…+xn+…

Sn=x+x2+…+xn+…= =1-

二、错位相减法求和

错位相减主要是用于等差数列等比数列相乘的一个情况an？鄢bn，其中an为等差数列，bn为等比数列，可以利用等比数列的性质对数列进行变化，构造相同项。

例2：求和：Sn=x+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1……1

解：由题目可知，（2n-1）xn-1是2n-1等差数列和xn-1 等比数列的通项之积。

设xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn……2用1-2可以得到

（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-（2n-1）xn （错位相减）

最后利用等比公式求和：（1-x）Sn=1+2x？鄢 -（2n-1）xn

所以得到Sn=

三、反序相加法求和

这个方法主要是将一个数列倒过来排序，将这个倒过来的数列与原数列相加，就可以得到一个n倍的（a1+an）。

例3：求证c0n+3c1n+5c2n+…+（2n+1）cnn=（n+1）2n

证明：设Sn=cn0+3cn1+5cn2+…+（2n+1）cnn……1，利用cmn= cnn-m将1式右边调转过来得Sn=（2n+1）c0n+（2n-1）c1n+…+3cnn-1+cnn ……2，将式1与式2相加得到2Sn=（2n+1）（c0n+c1n+…cn-1n+cnn）=2（n+1）？鄢2n，所以Sn=（n+1）2n

四、分组相加法求和

分组求和法是应用于既不是等差也不是等比的数列，但是通过适当的拆分可以将该数列分为等差和等比数列，再利用公式分别对这些变量求和，最后加总到一起。

例4：求盗械那n项和：1+1， +4， +7，… +3n-2，…

解：设Sn=（1+1）+（ +4）+（ +7）+…+（ +3n-2）将每一项拆开重新组合可以得到Sn=（1+ + +…+ ）+（1+4+7+…+3n-2） 当a=1时，Sn=n+ = ，当a≠1时，Sn= + = + 。

五、裂项相消法求和

裂项相消是将每一项分解再重新组合，再分解的过程中可以消去部分项，再将最后的部分加总。

例5：求数列an中，an= + +…+ ，又bn= ，求数列bn的前n项和。

解：an= + +…+ = ，得到bn= = =8（ - ）数列bn的前n项和Sn=8[（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]=8（1- ）=

六、分段求和法（合并法求和）

分段求和是因为数列中部分项合并在一起可能会有特殊的性质。

例6：数列an：a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an+1-an，求S2002。

解：设S2002=a1+a2+a3+…+a2002由a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an-1-an，可得a4=-1，a5=-3，a6=-2…

七、利用数列通项法求和

根据数列的结构找出数列的特征，再根据这些特征利用公式求解。

例7：求1+11+111+…+111…1之和

解：可以将111…1=

原式1+11+111+…111…1

以上就是数列求和的全部方法，数列求和的技巧看起来可能略多，不好理解，甚至解题之后会出现对应不起来的现象。但只要多做，做完题目后多多思考，多与案例相联系，就一定能够熟练掌握，在考场上做到不慌不忙，运筹帷幄。

参考文献：

[1]丁建.数列求和的几种重要方法[J].数理化解题研究（高中版），2011（8）：15-16.

数列求和方法篇6

1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；

（2）用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；

2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和.

（2）重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况.

教学建议

（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.

（2）等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.

（3）等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.

（4）编拟例题时要全面，不要忽略的情况.

（5）通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.

（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.

教学设计示例

课题：等比数列前项和的公式

教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.

（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.

（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.

教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.

教学用具

幻灯片，课件，电脑.

教学方法

引导发现法.

教学过程

一、新课引入：

（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）

二、新课讲解：

记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

（板书）即，①

，②

②－①得即.

由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？

（板书）等比数列前项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即

（板书）③两端同乘以，得

④，

③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）

当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）

当时，由⑤得.

于是

反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.

（板书）例题：求和：.

设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.

解：，

两端同乘以，得

，

两式相减得

于是.

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.

公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.

三、小结：

1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前项和.

数列求和方法篇7

一、累加法

二、累乘法

三、已知Sn或Sn与an的关系求an

已知Sn或Sn与an的关系求an，都要用到an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）

例3 已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n+1，求数列{an}的通项公式。

解：a1=S1=2×12+3×1+1=6，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+3n+1-[2（n-1）2+3（n-1）+1]=4n+1，把n=1代入an=4n+1得a1=5，这与已求a1=6不符合，

所以an=6（n=1）4n+1（n≥2）。

四、构造法

1.构造等差数列的方法

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）-f（n）=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知{f（n）}是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出{f（n）}的通项公式，再根据f（n）与an，从而求出{an}的通项公式。

2.构造等比数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知{f（n）}是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出{f（n）}的通项公式，再根据f（n）与an，从而求出{an}的通项公式。

例6 在数列{an}中，a1=2，an=a2 n-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。

解：将an=a2 n-1两边取常用对数可得，lgan=2lgan-1，从而可知数列{lgan}是以2为公比的等比数列，lga1=lg2，lgan=（lga1）×2n-1=（lg2）×2n-1，所以an=22 n-1

总之，求数列通项公式的每一种方法都具备它们各自的特点，只有熟练地掌握了这些方法的特点，遇到具体题目认真审题，该题符合哪种方法的特点用哪种方法，题目就迎刃而解了。

数列求和方法篇8

【关键词】高考数学 数列求和 题型 解法技巧

数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。它几乎涵盖了数列中所有的思想、策略、方法、技巧，对学生的知识和思维能力都有很高的训练价值。考试时把求和作为大题的一个不可缺少的一问单列，其重要性不言而喻。因此，我们根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以提高同学们数列求和的能力。

1.公式法（常规公式）

（1）直接利用等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。

a 等差数列{an} 的前n项和Sn=(a1+an)・n2=na1+n(n-1)2d

b 等比数列{an} 的前n项和Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anqn1-q（q≠1）

2.倒序相加法

如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序求和法。这种求和方法在推导等差数列的前n项和也曾用过。

例1： 求sin21°+sin23°+…+sin288°+sin289° 的值。

【解题思路】

本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决。

解：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289° 的值。

解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°①

将①右边反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21° ②

即

S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos288°+cos289° ③

①+③得

2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+(sin23°+cos23°)+…+(sin288°+cos288°) +(sin289°+cos289°)=89，

S=4412。

3.错位相减法

错位相减法：

若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{anbn}（差比数列）前n项和，可由Sn-qSn求Sn，其中q为{bn} 的公比。

例2：已知等比数列｛an｝ 的前n 项和为Sn=a・2n+b ，且a1=3

（1）求a 、b 的值及数列{an} 的通项公式；

（2）设bn=nan ，求数列{bn} 的前n 项和Tn。

解：（1）n ≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1 。而{an} 为等比数列，得a1=21-1・a=a ，

又a1=3 ，得a=3 ，从而an=3・2n-1 。又a1=2a+b=3,b=-3 。

（2）bn=nan=n3・nn-1 ，Tn=13(1+22+322+…+n2n-1)…①

12Tn=13(12+222+323+…+n-12n-1+n2n)…②

①-②得 ，12Tn=13(1+12+122+…+12n-1-n2n)，

Tn=23［1・（1-12n）1-12-n2n］=43(1-12n-n2n+1)

练习：求和：Sn=1+2a+3a2+…+nan-1 （a≠1）。

练习：已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数 的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=2knan ，求数列{bn}的前n项和Tn

4. 裂项项消法

“裂项项消法”就是把数列的项拆成几项，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的。

例3: 把正偶数列{2n} 中的数按上小下大，左小右大的顺序排序成下图“三角形”所示的数表．设amn 是位于这个三角形数表中从上到下的第m 行，从左到右的第n 列的数．

（1）若记三角形数表中从上往下数第n 行各数之和为bn ，求数列{bn} 的通项公式．

（2）记cn-1=nbn+n(n-1) （n…2 ），数列{cn} 的前 n项和为 Sn．

解：（1）若数列{xn} 的通项公式为xn=2n ，则其前m 项和Tn=n(n+1)

bnn(n+1)2 ［n(n+1)2+1］-(n-1)n2［(n-1)n2+1］=n3+n

（2）cn-1=nn3+n+n(n-1)=nn3+n2=1n(n+1)

cn=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2

Sn=12 -13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2

练习：对于每一个正整数n ，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1 与 x轴交于An,Bn 两点，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2004B2004| 的值为。

练习：已知函数f(x)=2xx+2 ，当x1=1 时，xn=f(xn-1)(n≥2，n∈N*) ，求数列{xn} 的通项公式。