数列复习建议

【摘要】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，因而在高考中占有重要地位，而高考对本章的考查也比较全面，一方面考查等差数列、等比数列的基础知识和基本技能；另一方面常和函数、不等式、方程等相关内容交汇在一起。

【关键词】高中数学 数列

本章在历年高考中占有较大的比重，至少占8%，考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题。而从这几年高考题的命题模式来看，客观题主要是考察和其他知识点的交汇，主观题对数列的考察较为全面，考察数列的概念、性质、公式、求和的应用。除09年理科解答题考察了和不等式及数学归纳法的结合外，最近几年的数列解答题在高考中主要作为中档题出现，对知识的交汇的考察主要集中在与函数、不等式以及数学归纳法的联系上。本文从近几年山东高考对数列的考查情况进行分析。

1.数列考点（山东卷）统计分析

年号题号所占分值重点考察的知识点及知识点交汇情况所占比例

有以上两个表格分析的近五年试题的分布来看，等差、等比数列作为最基本的数列模型，依然是高考重点考察的对象，利用Sn与an的关系以及递推公式求数列通项，以及数列求和问题也是近几年高考命题的热点。由于2009年考试说明把放缩法、反证法、数学归纳法加入考试要求，在09年高考中就考了数学归纳证明、放缩法，从而加大数列题难度，从最近五年的高考出题情况，虽然从2009年考纲加大难度，到2010年的中规中矩，再到2011年的新鲜题干，最后到2012年的等差数列中巧妙嵌入等比数列，我觉得数列的考察题目对知识难度要求总体有下降的趋势，我认为这与山东高考将取消文理分科，进一步降低难度的大趋势有关。

2.本单元考纲要求及复习策略

2.1 考纲要求

（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。

了解数列是自变量为正整数的一次函数。

了解等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系。

（2）理解等差数列，等比数列的概念；

掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式；

掌握由数列前n项求通项的公式；

掌握由递推公式求通项的基本方法；

掌握裂项求和以及错位相减求和。

（3）能在具体的问题情境中，识别数列的等差、等比关系，并能综合运用有关知识解决问题。

2.2 复习策略

（1）首先要认真研读大纲、考纲，认真分析高考的出题动向，才能做到对这一部分出题动向的深入把握，这样才能做到复习中更有针对性。

（2）曾听到一位命题专家说过这样一句话：“高考题来源于课本，高于课本”。由于这几年山东高考大趋势是更加注重基础，降低难度。所以，复习过程中要切实做到“降低起点，以课本为主”，以知识模块为主线开展复习，不能脱离课本仅凭某本参考资料复习。其实，往往很多高考题都是课本习题或例题的再加工或者就是原型。尤其是课本中思考、探究更应引起我们的重视。如：（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

这是我们课本数列第一节的引入实例，如果我们在教学过程中能够给予重视、讲解，那这个题学生做起来就很容易了。所以高考中很多题目都可以在课本中找到原型。

（3）教学过程中我们坚持用“题组法”进行数学总复习教学，取得了较好的复习效果。用题组法组织数学复习，可以更好的突出重点，有梯度的攻克难点。用“题组法”组织数学复习课一般由四组题目构成：再现型题组，巩固型题组，提高型题组，反馈型题组。

具体是：①再现性题组，前一天已经做过，老师已经批阅过，上课是先用 3到5分钟时间，让学生习惯性的展开小组讨论，然后，遗留问题就少得多了，老师精讲相关内容、用时也较少。 ②巩固型题组，组内派代表板演，不但让小组间展开积极竞争，也能更好地检测再现性题组的讨论效果，板演结束后，由其它组的成员点评，提出多种不同的解决方案，老师在此基础上再精析，将知识、方法升华。③提高型题组，小组内简单交流，稍作思考，然后有老师引导学生共同解决问题。④反馈型题组，完全的交给学生，小组内完成，基础好的同学，一般是组长可以利用自习、课间时间负责组织组内讲解，这样，班级学习氛围更浓了，第二天的课上轻松多了。相信经过同学们的充分参与，我们的课堂真正成为学生的课堂，老师只是“导演”！

（4）在每次选编题组时，要求出题教师要围绕有利于复习基础知识，巩固基本方法，揭示某些解题规律来选题、编题，每个题组中的题目及各题组之间要由易到难，并紧紧围绕课时复习目标，使基础知识、基本技能、基本方法、基本思想、解题规律重复出现，螺旋式递进。这符合学生的认识规律，有助于学生记忆、理解知识、方法、思想，加速从模仿到灵活运用的进程，能深深印入学生的脑海中。同时题目的选编，要以考纲为纲，以教本为本，应具有基础性、典型性、启智性等。

（5）在复习过程中，要注意重视抓书写规范训练，突出提高解题准确与速度，以及对公式的准确记忆。计算能力是高考四大能力要求之一，也是学生的薄弱环节之一。

3.高考试题典例分析

3.1 考察等差、等比数列的概念和简单性质

（2010山东理数）

（9）设{an}是等比数列，则“a1

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件、

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若已知a11，且a1>0，所以数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列，则公比q>1且a1>0，所以a1

【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。

3.2 用定义法求数列的通项，以an，-1n为基础构造新数列，分类讨论，分组求和

2011年（山东文、理20）

等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.

评析：文理（ 20 ）题均为数列题，情景一致。该题以列表的形式简洁明了地给出了等比数列的前三项，极易让考生把握，巧妙地穿了分类整合的思想。该种情景具有科学依据，因为数列是特殊的函数，函数可以借助解析法、列表法、图象法来表示。此外，从该情景中还可以感觉到行列式的魅力。所以该题目情景的设置极具创新精神，又不失科学依据，具有极深的数学底蕴，充分体现了数学语言文化的魅力。在第二问中，均在通项的基础上求和，但在求和的方法、计算量的大小和难易的程度，都充分考虑到文理考生的实际状况，体现了对广大考生的人文关怀。

3.3 对数列知识的综合考察

（08年山东理19题）

将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

评析：本题以数列知识为背景，综合考察不等式的证明方法，如数学归纳法，放缩法且步步递进，环环相扣，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.

4.5 以等差数列为背景嵌入等比数列，对等差（比）数列之定义，通项以及求和的全面考察

（2012年文20） （本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前5项和为105，且a20=2a5.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

解析：（I）由已知得：5a1+10d=105，a1+9d=2（a1+4d），

4.2013年高考预测

从近五年高考题目来看，除零九年理科数列题结合数学归纳法和不等式难度有点增加外， 08、10年数列高考题的出题方向难度降低、更加注重基础方向发展。2011年、2012年均是作为20题出现，文理两科的出题意境也极为类似，而且全面考察等差数列、等比数列定义，通项公式以及求和等基础知识。这就要求我们以后教学过程中仍要坚持重视基础，无论难度降低还是提高，都能做到“以不变应万变”。

1.客观题以考察等差、等比数列的概念、简单性质和基本量运算为主。

2.解答题主要考查数列的综合应用为主，这里常涉及到的知识方法有：

（1）基本量思想，对等差或等比数列，列方程求首项和公差或公比。

（2）利用Sn与an的关系，求通项或实现Sn与an的转化，我认为Sn与an的关系公式，不仅仅是求通项，而是在题目中实现了Sn与an相互转化的一条通道。

（3）已知递推公式求通项公式，这里重点考察的是构造法。

（4）数列求和问题，主要考察公式法，裂项法，错位相减法。

（5）因为数学归纳法主要解决和自然数有关的命题，这一点和数列很契合，所以要注意数列与数学归纳法的结合。10、11、12年也没考，这反而增加了13年考查的概率。