时间：2023-10-02 23:39:43
关键词： 数列结构 数列极限 求解方法
一、问题的提出
在某些数列的极限问题中，往往已知数列各项间的一些递推关系式.这时要仔细分析这些关系式，大致把握数列的一些性质，采用合适的方法来解决.本文在研究数列结构研究的基础上，讨论了求数列极限的几种典型方法.
二、一些结果
定理1（托布尼兹定理）若数列S=at满足（1）a≥0，n∈N，K=1，2，…，n；（2）a=1，n∈N；（3）a=0，k∈N；（4）t=t，则S=t.
推论（斯托兹定理）（1）若数列{y}严格增大，且无界；（2）=L，则数列{}=L.
定理2（压缩映射原理）设函数f（x）满足（1）-∞＜a≤f（x）≤b＜+∞，（a≤x≤b）；（2）|f（x）-f（y）|≤k|x-y|，（0＜k＜1，x，y∈［a，b］）.设x∈［a，b］，并定义序列{x}：x=f（x），n=1，2，…，则x=x存在，且x=f（x）.
定理3（单调有界原理）单调有界数列必有极限.
三、具体应用
1.斯托兹定理
例1:计算（α＞0）
解：令y=n，x=1+2+…+n则由α＞0，故数列{y}严格单调增无界，由斯托兹定理有：===.
2.压缩映射原理
例2：按下列方式定义一个正数列：任取x＞0，并使x=（n=0，1，2，…），证明这个序列收敛并求极限值.
证明：显然有0＜x＜1 （n=1，2，…）.由于
x-x=-=
数列{x}不是单调数列.但我们据此有
|x-x|=|x-x|.
因为，函数f（x）=在［0，1］上的最大值是，从而有
|x-x|≤|x-x|.
由此对任意的m＞n，有
|x-x|≤|x-x|+…+|x-x|≤（）|x-x|+…+（）|x-x|≤（）［1++…+（）］［x-x］＜（）|x-x|0
由柯西收敛原理知{x}收敛.
记
x=x，
则有
x=，
x=.
在不能先证明极限是否存在时，直接通过取极限将递推式化为代数方程，先得出极限的可能值，往往是有益的.它能给你提供新的解题思路.
例3：设x=2，x=2+，…，x=2+，…，求证：x存在，并求其值.
证明：显然，可以看出x＞2且{x}不具有单调性.
若x=A存在，则必有A=2+，从而A=1+.据此，我们直接从定义出发证明{x}的极限存在并且就是A.因为
|x-A|=|（2+）-（2+）|=|-|=＜
＜＜…＜=0（n+∞）
所以
x=A（存在）.
3.单调有界原理
证明极限存在的一个重要方法是利用“单调有界数列必有极限”这一原理.考察数列单调性的主要手段是研究项差x-x的正负性质.
例4：设x＞0，x=（n≥1），试证x=a存在，并求a的值.
解：显然，对一切n有x＞0，进而可看出x＜4，即{x}是有界序列.由
x-x=（4-）-（4-）=
知x-x与x-x有相同的正负性，即{x}是有界序列.所以x=a存在，且满足方程
a=.
解得a=2.
例5：f（x）=cosx+cosx+…+cosx，求证：
（A）对任意自然数n，方程f（x）=1在［0，）内有且仅有一个根；
（B）设x∈［0，）是f（x）=1的根，则x=.
证明：（A）因为f（0）=n≥1，
f（）=++…+=1-＜1，
由连续函数的介值性知f（x）=1在［0，）内至少有一个根.而因为
f′（x）=-sinx［1+2cosx+…+ncosx］＜0，
导致f（x）在［0，）内单调下降.所以f（x）=1在［0，）内仅有一个根.
（B）因为f（x）=f（x）+cosx=1+cosx＞1，
所以x＞x，即{x}是单调上升有上界的序列.极限x=x存在，且x≤.同时，由于x≤x，所以
f（x）≤f（x）≤1，
即有
≤1.
令n∞，可得
cosx≤，
即得x≥，所以x=.
参考文献：
［1］龚冬保.高等数学典型题［M］.西安：西安交通大学出版社，2004.
［2］刘玉琏等.数学分析讲义（第四版）［M］.高等教育出版社，2003.
关键词：数列极限 几何意义 证明 应用
中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）05（a）-0218-01
极限理论是数学分析和高等数学的核心内容，贯穿在整个教学的全部内容中。学生有熟练掌握极限理论是学好数学分析和高等数学的前提条件，在以往的教学中，数列极限的几何解释通常不能引起学生的重视。就其原因，一是数列极限的几何解释在教材中介绍的篇幅较少，它一般作为数列极限一节的结束；另一方面它的应用较少，很难引起学生的注意。因此，在对一些用到数列极限的几何解释解决的问题时无从下手。本文将阐述数列极限的几何解释的若干应用，希望引起学习者的重视。
1 数列极限的几何解释
数列以为极限的定义是：对于每一个事先给定的，存在正整数，使得对满足条件的每个自然数，成立不等式。其几何解释是：
数列收敛：数列从某项开始将进入的任何事先给定的邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。
数列发散：对于数轴上的每个，都存在一个邻域，在中有无穷多限项落在这个邻域之外。
它们其实就是数列收敛与发散的几何定义，应该引起学生的高度重视，下面以例子说明它的意义与应用。
2 在理论学习中的意义
学生在学习极限的性质时总感到困惑，认为那些证明太难了，例如用反证法证明极限的唯一性时，先设有两个不相等的极限、且，为什么要取？为了说明这个问题，我们先看它的几何意义：数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项，同时有数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。因为，又要保证这两个邻域不相交，邻域的半径最大可以取多少，不就是两点距离的一半吗？数列的项从某项开始不可能同时进入两个不相交的邻域，从而得出矛盾。
再看保号性，若数列收敛，且，则当时，有。
如图1所示，取，在区间外只有有限个点，记最大的下标为，则只要时，就落在邻域内，显然大于。
又如有序性， 设，。若，则当时，有。
如图2所示，取，从几何意义可以看出，只要足够大，，
，所以一定有。
3 在解决问题中的应用
例1 证明数列增加有限项或减少有限项，不改变其敛散性。
证：设收敛，则
，使得，在外只有的有限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍然只有的有限项，故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性。
如果发散，则，，使得在外有的无限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍有的无限项，故增加有限项或减少有限项不改变其发散性.
注：本题多次布置给学生作为练习题，学生的反映是无从下手，就此反映了学生对此知识点的不重视。
例2 证明：数列发散。
证：因为由无穷多个和无穷多个组成，所以任何一个长度小于的区间不可能同时覆盖和。即，取，则必有无限多项在之外。
注：本例中，可取中任何一个数，作为存在性的说明，只需一个就可以了，此处取的是。
例3设黎曼函数
证明黎曼函数满足。
证：，当或
时，，所以。
当时，相当于求有理点列的极限。对，取，如图3所示：
在直线上方的点只有有限个，即在外只有有限个点，故有理点列以极限。用数学语言叙述如下：
由于的点只有有限个，设它们为，所以只需取
则使得，从而。
综上所述，故。
关于数学的研究对象，一般都有数和形两个方面的陈述。作为数上的描述，比较抽象，思想比较深刻；作为形上的描述即所谓的几何解释，比较直观，形象。二者互为补充，不能厚此薄彼。
参考文献
[1] 刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.
[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.
关键词：导数；极限；不等式；联系.
1 导数的应用
导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。
1.1 导数的单调性
定理1.1 设函数在上连续，在内可导
如果在内，那么函数在上单调增加；
如果在内，那么函数在上单调减少.
例1-1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解法一：设是上的任意两个实数，且，则
由得
要使，则.
于是 .
即 时，是增函数；时，是减函数.
解法二：
令解得；因此，当时，是增函数.
再令，解得，因此，当时，是减函数.
经过对两种方法的对比，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.
2 极限的应用
学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极
限问题是认识和解决问题的需要.
2.1 数列极限
高中我们给出了数列极限的概念：
如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数（即无限地趋近于0），那么就说数列以为极限.或者说是数列的极限.
数学分析里也给出了数列极限的概念：
定义2.1 设为数列，为有限常数，若对总存在正整数，使得当时，有
则称数列收敛于，是数列的极限.并记作，或.若数列没有极限，则称不收敛或称为发散数列.
中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称定义）来证明高中数列极限中所用的结论.
例2-1 证明 （均为常数，且）
在中学，我们直观地知道，当时，这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正确性.
证明 由有即
对，则当时，有
.即
利用定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四则运算法则.
例2-2 若数列与都收敛，则和数列也收敛，且
.
证明 设与.根据数列极限的定义，即
有
有
同时有
与
于是，有
即
在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.
2.2函数极限
与数列极限一样，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限定义.即：
如果函数无限趋于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作
也可记作
当时，
也叫做函数在点处的极限.
但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.
当趋于时函数极限的精确定义：
定义2.2 设函数在点的某一去心领域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式
那么常数就叫做函数当时的极限，记作
或（当）.
由于趋于时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.
当趋于时，函数极限精确定义：
定义2.3 设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式
那么常数就叫做函数（当时）的极限，记作
或（当）.
函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论：
运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.
例2-5 求的值.
解
令 当时，即
故
中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.
例2-6 求的值.
我们先用中学的方法来求解：
解 =
这是中学最基本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利下转第页
上接第页
用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当时，所给分式的分子分母分别趋近于，可以运用洛必达法则求解.
运用洛必达法则，有：
此题似乎没有体现洛必达法则的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法则在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.
例2-7 求的值.
在中学，我们可以这样求解
解 原式
现在用洛必达法则解答，可以比较一下：
解 由于当时，故是型
用洛必达法则有
在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们基本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.
初等数学与高等数学有机地紧密结合着，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.
通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情.
参考文献：[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版 上册）.北京：高等教育出版社，2002.
[2]数学分析讲义. 上册/刘玉琏等编. ―5版.―北京：高等教育出版社.2008.5
[3]全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第一册（上）人民教育出版社中学数学室 编著
[4]洪毅.数学分析[M].广东：华南理工大学出版社，2003.
关键词：幂递推数列；收敛；发散；极限
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）01-0170-01
数列极限的研究是数学分析的一个重要问题.它的重要性不仅在于极限本身的研究，更主要的是该问题的研究结论给分析学提供了有力的研究工具。如关于数列{（1+）n}的极限[1]的研究对于指数、对数函数的导数公式的导出起着关键作用.我们知道，除了几个基本定理（单调有界定理等）外，在数列极限的研究中，还没有普遍适用的工具，这也就增加了数列极限研究的困难性。
一、引理
设数列适合以下条件：u1=(>0)，un+1=un(n≥1)则称数列{un}是以为底的幂递推数列.
引理1:当=，幂递推数列{un}的极限存在且
根据单调有界定理[2]知，数列{un}存在极限，并容易求出
.
引理2:设数列{un}是以为底的幂递推数列.如果 存在，那么≤e.
证明:设 =，由数列{un}的定义有，un+1=un(n≥1)，两边取极限，有=.令f()=，则f'()=(-ln)令f'()=0，解得=e，注意到 ， ，知函数f()在e取最大值f(e)=e，若>e，则方程=无解.于是数列{un}发散.矛盾.所以≤e.
根据数列及函数的基本性质，容易得到下面几个引理：
引理3:设数列{un}是以为底的幂递推数列.如果满足1≤≤e，那么，数列{un}收敛.
引理4:设数列{un}是以为底的幂递推数列.如果0
记{u2k-1}的极限为x0.注意到u2k-1=u2k-2，u2k=u2k-1，我们容易得到下面的推论：
推论:上述极限x0、y0适合条件x0=y0、x0=y0.因而有x0=x0、y0=y0.由此推论，可将数列{un}的收敛性归结为方程f(x)=x-x=0（*）的解是否唯一的问题.
引理5:设0
（1）若e-e
（2）若0
（3）若=e-e，则=
引理6:设e-e≤
引理7:设0
二、主要结论
定理 设数列{un}是以为底的幂递推数列.
（1）当>e时，{un}发散.
（2）当e-e≤≤e时，{un}收敛.
（3）当0
证明:（1）当>e时，由引理2易知，极限，即数列{un}发散.
（2）当1≤≤e时，由引理3知数列{un}收敛.
（3）当0
设u是方程（*）的任一根，则n=u，因为u>0，则u，即u>u>=u1，设u>u2k-1，则uu2k，即u>u2k+1，由数学归纳法知，对任意自然数k，有u2k-1
设方程（*）的根u∈(x0,)，则由u=，又因为u是方程（*）的根，故u∈(,y0).同理，如果方程（*）的根u∈(,y0)，则由u>得u
当e-e≤
参考文献
[1]龚德恩、范培华：微积分，高等教育出版社，2008:49-51
[2]同济大学应用数学系：高等数学，高等教育出版社，2007(6）:52-56
【关键词】极限概念；定义；辩证法；应用
通过研究极限概念的建立，我们知道了在一般微积分教程中，极限有数列极限和函数极限之分，函数极限中又有x∞和xx0之分，现以数列极限为例，分析极限概念中的唯物辩证法。
设数列{xn}收敛于常数A，即limn∞xn=A。依“ε-N”定义可分三步证明：
第一步，给出任意正数（无论有多小）ε>0；
第二步，由不等式|xn-A|
第三步，依定义的模式写出结论。
第一步是前提，第二步是关键，第三步是证明的完结。在这三步中蕴涵了如下一些丰富的唯物辩证法内容。通过唯物辩证法分析极限概念，体现了事物相互联系、相互渗透、相互制约的辩证关系。我认为大家现在应该对极限概念有了更深一层的理解，接下来看看对极限概念的一些具体应用。
1 极限概念中的唯物辩证观在数学中的具体应用
《细绳对折小实验》
这里有一根1米左右的小细绳，然后对折若干次后回答下面问题：
（1）绳子长度的变化趋势怎样？最后会变为零吗？
（2）绳子长度为何会发生这种变化？
（3）能用数学符号写出上面对应的问题吗？
答：（1）绳子长度趋向于零，但永远不会为零。
（2）因为不断地将绳子对折。
（3）绳子的长度组成
对折次数n 1 2 3 4 5 … n …
绳子长度an 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 … 1 2n …
以q=12的无穷等比数列。观察结果：当项数无限增加时，绳子的长度an趋于一个常数0，不论n多大，12n永远不为0，只是0的近似值，不同的n只表示12n与0近似程度的不同，保持近似值的相对稳定性，不会产生质的变化，但是，当n无限增大时，相应数列12n的变化也出现了飞跃，无限趋近于0，这反映了事物运动变化由量变到质变这个辩证规律在数学中的反映。
2 极限定义在解题中的一些简单应用
数列（1）0.9，0.99，0.999，…，1-110n，…
（2）21，32，43，…，n+1n，…
（3） 1，-12，14，…，（-12）n+1，…
（4）1，1，1，…，1，…
（5）1，2，3，…，…
（6）2，1，-1，…，3-（-2）n-1，…
（7）1，-2，4，…（-2）n-1，…
（8）1，-1，1，…，（-1）n-1，…
问题：在直角坐标系内，横轴上表示项数an，纵轴上表示项n，并把相应的点描出来，进一步分析各个数列变化趋势的特征，从中加以分析对比，并思考下面几个问题：
（1）当n无限增大时，项an的变化趋势，它能否向一个确定的常数趋近呢？
（2）若能，请将这个常数求出来，并用字母a表示。
（3）比较项an与这个常数a的大小关系。
注：也可将直角坐标系改为数轴
（1）是无限递增经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（2）是无限递减经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（3）是围绕x轴作越来越小的上下摆动。a=1，an时而大于1，时而小于1。
（4）是任何时刻都永远等于1的。a=1。
（5）愈变愈大，最终趋向于无限大的。a不存在。
（6）绝对值是越变越大，最终沿着负的方向趋向无限大的。A不存在。
（7）是摆动于正负无限大的。A不存在。
（8）是摆动于+1与-1之间的。A不存在。
观察结果：一方面项数n的增大与数列的项的趋近都在无限过程中进行的。另一方面，如（1）的项，不仅趋近于1，而且无限趋近于1，根据上述无限数列的特性，不难发现无限数列趋近于基本上可以分为两大类：一类当无限增大时，项无限趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（1），（2），（3），（4）一类当n无限增大时，an却不能趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（5），（6），（7），（8）。有了这些感性认识以后，无限数列以根据它们是否能够趋近于某一个唯一确定常数为标准来进行分类：一类存在极限，另一类不存在极限。
3 正确运用极限定义证明极限
已知xn=（-1）n（n+1）2，证明数列{xn}的极限是0。
证 =|xn-a|=（-1）n（n+1）2-0=1（n+1）2
ε>0 （设ε
证明{n2}和{（-1）n}都是发散数列。
证 对任何a∈R，取ε0=1则数列{n2}中所有满足n>a+1的项（有无穷多个）显然都落在U（a，ε0）之外，故{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列。
至于数列{（-1）n}，当a=1时取ε0=1，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}中的{（-1）n}所有奇数项；当a≠1时取ε0=12|a-1|，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}所有偶数项。所以{（-1）n}不以任何数a为极限，即{（-1）n}为发散数列。
例3 证明limx∞1x=0
证 ε>0，要证X>0，当|x|>X时，不等式1x-0X=1ε时，不等式1x-0
例4 证明limx1x2-12x2-x-1=23
证：当x≠1时，有：x2-12x2-x-1-23=x+12x+1-23=|x-1|3|2x+1|（一般的课本对此题都是直接限制x于0-12，即01）。于是对任给的ε，只要取δ=min{3ε，1}，则当0
x2-12x2-x-1-23
参考文献
[1] 刘玉链等编.《数学分析讲义》高等教育出版社，1985年第二版.
[2] 杨世明，王雪琴，数学发现的艺术[M]，青岛：青岛海洋大学出版社，1998年版
[3] 〔美〕贝尔著，徐源译，数学精英[M]。北京：商务印书馆，1991年，第605页
[4] 徐利治，《数学方法论选讲》，华中工学院出版社1988年版，第97页
[5] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001年版第45～第46页
[6] 同济大学应用数学系，高等数学（上册）高等教育出版社.
关键词： 极限； 数列的极限； 函数的极限； ε-N语言； ε-δ语言
中图分类号： G427 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）02-0216-01
极限是高等数学的基础概念之一，导数、定积分、偏导数、重积分以及曲线曲面积分都是通过极限来定义的，极限有关问题也是高等数学的重要题型。虽然极限的求解方法很多，但用定义来证明极限却是最基础的方法，同时，极限的ε-N语言、ε-δ语言有助于对极限的理解。下面针对数列以及函数极限的相关题型分别作出分析。
一、数列的极限
1. 对数列{xn}与常数a，若对任意给定ε＞0总存在正整数N，使对n＞N的一切xn，xn-a＜ε都成立，称数a为数列{xn}的极限，记为xn=a.由此，若要证明数a为{xn}的极限，只需对任意给定ε＞0求解N，为了找N，令xn-a＜ε反解出n＞φ（ε），取定N=[φ（ε）]即可。下举一例。
例1 证明数列xn=的极限是1.
解：对任意的ε＞0，xn-a=-1=，为了使-1＜ε即＜ε得n＞，取N=，则当n＞N时有-1＜ε，故=1.
2. 若对任意给定M＞0总存在正整数N，使对n＞N的一切xn，xn＞M都成立，称数列{xn}的极限为无穷，记为xn=∞.由此，若要证明数列{xn}的极限为无穷，只需对任意给定M＞0求解N，为了找N，令xn＞M反解出n＞φ（M），取定N=[φ（M）]即可.
二、函数的极限
设函数f（x）在x0的某一去心邻域内或x大于某一正数时有定义，下面就xx0及x∞两种情况进行分析.
1. 若对任意给定ε＞0总存在正数δ＞0，使得满足0＜x-x0＜δ的一切x有f（x）-A＜ε都成立，称数A为f（x）当xx0时的极限，记为f（x）=A.由此，若要证数A为f（x）当xx0时的极限，只需对任意给定ε＞0求解正数δ＞0，为了找δ，令f（x）-A＜ε反解出x-x0＜φ（ε），取定δ=φ（ε）即可.下举一例.
例2 证明：当x0＞0时=.
解：对任意给定ε＞0，-= x-x0＜ε即x-x0＜ε；同时x 0可由x-x0x0保证，取δ=min{x0，ε}，则当0＜x-x0＜δ时有-＜ε，故=.
2. 若对任意给定M＞0总存在正数δ＞0，使得满足0＜x-x0＜δ的一切x有f（x）＞M都成立，称f（x）当xx0时的极限为无穷，记为f（x）=∞.由此，若要证f（x）当xx0时的极限为无穷，只需对任意给定M＞0求解正数δ＞0，为了找δ，令f（x）＞M反解出x-x0＜φ（ε），取定δ=φ（ε）即可.
3. 若对任意给定ε＞0总存在正数X＞0，对x＞X的一切x有f（x）-A＜ε都成立，称数A为f（x）当x∞时的极限，记为f（x）=A.由此，若要证数A为f（x）当x∞时的极限，只需对任意给定ε＞0求解正数X＞0，为了找X，令f（x）-A＜ε反解出x＞φ（ε），取定X=φ（ε）即可.下举一例.
例3 证明：=0.
解：对任意给定ε＞0，-0=＜ε即x＞，取X=，则当x＞X时有＜ε，故=0.
4. 若对任意给定M＞0总存在正数X＞0，对x＞X的一切x有 f（x）＞M都成立，称f（x）当x∞时的极限为无穷，记为f（x）=∞.由此，若要证f（x）当x∞时的极限为无穷，只需对任意给定M＞0求解正数X＞0，为了找X，令f（x）＞M反解出x＞φ（ε），取定X=φ（ε）即可.
参考文献：
[1] 同济大学数学教研室.高等数学（四）[M].北京：高等教育出版社，1993.
数列极限和函数极限体现了离散和连续的关系，两者在分类和方法上可以统一.数列极限可视为特殊的函数极限.一般地，在教学过程中，函数极限主要用以处理七种未定式极限，本文根据该分类对极限模型进行比较分析和总结.
一、比值类型00，∞∞
在很多实际问题中，常考虑自变量趋向于无穷时函数的稳定性，或从长远角度分析函数值的变化，而这些极限往往属于∞∞的比值类型极限.如实例模型：
1）药物注射后的血液中的药物浓度随时间变化函数C（t）=0.2tt2+1，其中时间t（小时）， 浓度C（t）（mg/cm3），随着时间推移，血液中浓度稳定水平即为limt∞C（t）=limt∞0.2tt2+1=0.
2）票房收入C（t） （百万）随时间t（月）的函数为T（x）=120x2x2+4，于是票房总收入即时间趋向于无穷时的极限值，即limt∞T（x）=limx∞120x2x2+4=120.
3）逆流而上的游鱼的耗能函数为E（v）=aLv3v-u，鱼速v，路程L，水流u，与实际生活一致，鱼速有两个无限耗能情形如limvu+E（v）=∞，limv∞E（v）=∞.
以上三例是∞∞的极限类型，而00类型的极限，常分析自变量无限接近某个点时的函数值的变化趋势，函数的导数、物理中瞬时速度、曲线切线斜率、经济学中边际与弹性就是这类模型的典型实例.一般教材在引入导数时，都应用两个有重要意义的实例，用平均速度无限接近瞬时速度，用割线斜率无限接近切线斜率.
4）瞬时速度：
v（t0）=limtt0v（t）=limtt0s（t）-s（t0）t-t0，
5）切线斜率：
k（x0）=limxx0k（x）=limxx0f（x）-f（x0）x-x0.
二、积与差类型
从数学形式上说，七种未定式可以相互转化.积与差的未定式可以由上面的比值类型换个看法即可得.但要体现数学应用性，从实际函数模型上讲，最好能说明原始的函数模型就更能体现极限的分类形式.0・∞形式，说明目标函数中两个因子随自变量的某个无限变化过程时相互抑制，理论上讲，要构造符合此种无限变化的目标函数比较容易.如对护城河治理模型合理构造得到如下0・∞类型极限.
6）在城市发展过程中，某城市从某年开始注重对护城河的治理，初始污泥量为A，因治理水平提高，污泥量每年减少到90%，另外由于城市扩张，第n年又是前一年的nn-1倍，则第n年的污泥量为Sn=A・0.9n・ni=2ii-1=A・0.9n・n.当n∞时，0.9n0，所以Sn的变化趋势属于0・∞，最终的稳定量水平即分析极限limn∞Sn=limn∞A・0.9n・n=0.
对于∞-∞极限类型，要求目标函数是同类型的两项，随自变量的某个无限变化过程而趋向无穷，从而分析两者之间的差距的稳定性.如：
7）产品利润问题：若产量为x时的成本为C（x）=10+1+x2，售价5美元，则产量为x时，增加单位产量的利润增长额为I（x）=5+1+x2-1+（1+x）2，当产量无限增长时，利润增长额是否会达到一个稳定值，即分析极限
limx+∞I（x）=limx+∞[5+1+x2-1+（1+x）2]=4.
三、幂指类型1∞，00，∞0
极限理论中，极限limn∞（1+1n）n=e称重要极限，该极限可视为关于n的幂指函数，其它属于1∞类型的极限，都可以通过变形成该重要极限来求解.学生在学习此类极限时，难于理解其未定性，受1的任何次幂仍为1的结论影响，并没意识到自变量在1附近的变化时，对极限值的影响是很大的.在幂指函数的极限实例模型中，1∞是最为常见的，典型的有连续复利的计算，人口预测等.有如下模型：
8）CO2的吸收模型：空气通过盛有吸收剂CO2的圆柱型器皿，已知吸收CO2的量与CO2的百分浓度及吸收层厚度成正比.通过极限的方式，该模型可以建立起空气中CO2的浓度关于厚度的函数关系，设初始空气含CO2浓度为a， 先将空气层分成n层，于是通过第n层后的浓度为cn=a（1-kdn）n，k为比例系数，再将吸收层无限细等分，即n∞，则有C（d）=limn∞cn=limn∞a（1-kdn）n=ae-kd.
对于00，∞0这样两种未定式，纯数学形式熟悉的有limn∞n1n=1，limx0+xsinx=1，对于这两种未定式，与1∞一样，容易仅考虑底数的无限变化，没有意识到指数的无限变化与底数相互抑制.在数学的实际应用中，目标函数是幂指函数比较少见，所以在一般教材和文献中该类型极限模型几乎没有出现，还有待于探索和构造.
关键词：高等数学（一） 极限 历年考卷
自学考试在我国的高等教育中居于十分重要的地位。由于我国普通高等教育资源短缺，导致相当多的人不能接受普通高等教育。自学考试以其“开放、灵活、适应性强、投资少、效益高、工学矛盾小”等特点受到人们的欢迎，在我国得到快速发展，为我国的经济建设培养了大批有专业知识和技能的人才。在今后相当长的一段时间里，我国普通高等教育资源短缺的情况仍将存在，因而自学考试还会继续发展。
很多自考专业的考试科目中要求考高等数学（一）（以下简称高数），这门课的教材由章学诚主编，全国统一考试。高数对考生来说无疑是最难学的课程之一，在每次组织的考试中，高数的及格率都很低，相当多的考生不能通过高数考试，影响到毕业证的获取，导致很多考生放弃了自考。本文主要针对高数中极限部分的内容进行分析。极限内容对自学者来说有一定的难度，考生对此往往无所适从。极限是高数考试的必考部分，考生如果放弃极限的学习，会对能否通过考试产生影响。针对这一情况，本文试图通过对历年考题的分析，总结考试经验，以期对考生自学和应考提供一定的帮助。
一、高数自考考试大纲关于极限部分的考试要求
自考生的自学应该按照考试大纲的要求进行。高数考试大纲中极限的考试内容包括数列极限、数项级数的基本概念、函数极限、极限的运算法则、无穷小(量)和无穷大(量)、两个重要极限等。其中极限包括数列概念、数列极限的定义和收敛数列的基本性质；函数极数包括函数在有限点处的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限和有极限的函数的基本性质；无穷小(量)和无穷大(量)包括无穷小(量)、无穷大(量)、无穷大量与无穷小量的关系和无穷小量的比较。
与此相对应，考试大纲中极限的考试要求包括：①理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件；②了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；③理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，会运用等价无穷小量代换求极限；④熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
就高数中极数部分的考试范围来说，考试内容是比较多的，这给考生的学习及应考产生了一定的思想负担；而考试大纲的要求包括了解、理解、熟练掌握、运用等诸多方面，要求掌握的内容不少。由于考试大纲中极限在总分中所占比重并非很大，且极限部分非常抽象，尤其是极限的概念部分难以学懂，一部分考生忽略它是可以理解
的。
二、历年高数考试中极限部分考题分析
本文选择最近的5次高数考卷进行分析，这5次分别是2007年4次以及2008年1月的考试。做出这种选择的依据是：第一，它是与现在相距最近的5次考试，试题的分析具有实际意义，对未来的考试具有实际指导作用；第二，试题分析应该建立在一定数量试卷的基础上，试卷太少则代表性较差；第三，需要说明的是，这5次考卷的题型及题型分值完全一样，属于同一次命题的范畴。这5次考卷的题型包括选择、填空、计算、应用和证明等5种类型，试题总数25个。其中选择题5个，共10分；填空题10个，共30分；计算题分为计算题（一）和计算题（二）两类，计算题（一）5个，共25分，计算题（二）3个，共21分；应用题1个，9分；证明题1个，5分。试题难易比例：容易题约20%；中等偏易约40%；中等偏难约30%；难题约10%。
在这5次考试中，均有极限方面的考题出现。从考卷统计的情况来看，每套试卷出现3个左右的极限题目，其中一个以计算题（一）的形式出现，另两个出现在选择题或填空题中，属于小题；极限部分合计分值在10分左右；就极限的考试内容来说，以计算题（一）形式出现的题目偏向于两个重要的极限，以选择题或填空题出现的两个小题偏向于考核数列的极限、两个重要的极限等。由此，我们可以得出，极限部分的考试重点是数列的极限及两个重要的极限，考卷中出现的极限部分与考试大纲的考试要求保持一致。
极限部分考题在近几年高数的考试中出现得不多，且重点突出，对高数的考生来说，把握这一情况无疑是重要的，考生可以有重点地展开极限部分的学习，复习中集中精力关注重点内容。
三、关于极限的自学建议
事实上，极限在高数的学习中是重要的基础。我们知道，数学知识的联系很密切，极限部分对于后续内容的学习有重要影响。自考生在自学中应该以长远的观点来对待，不能因为考卷中极限部分的考题不多、分值较少且难以自学就放弃对它的学习。关于极限的自学，我们认为只要掌握好学习方法，通过一定的努力，一定可以取得满意的效果。在自学中，以下三点应引起自考生的关注。
1. 掌握基本概念、基本方法和基本原理
每门学科最重要的内容就是基本知识，包括基本概念、基本方法和基本原理等。要顺利通过高数考试，就要明确高数要考些什么。高数主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算。高数是一门基础学科，如果基础、概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练，肯定就考不好，所以基础一定要打扎实。就最近几年的数学试题来看，主要也是以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主。由于极限较为抽象，自学起来会有难度。我们认为要学好这部分内容就要牢牢把握基础，极限部分的基础内容是数列极限的定义以及函数在有限点处的极限定义。学习极限时头脑中始终要有一个动态变化趋势的概念。
2. 把握学习重点
要明确考试重点，充分把握重点。重点学习内容的重要性表现在它是学科的主要部分，它对于相关内容的学习有重要的影响，它往往也是考试的主要部分。把握重点其实很容易，考试大纲指明了每一章节的重要内容，只要认真地阅读便会知晓。通过考卷的分析，可以得出极限的考试重点就是数列的极限和函数在有限点的极限的定义，以及两个重要的极限。为了充分把握好重点，平时应该多研究历年真题，更好地了解命题思路和难易度。
3. 要大量做基础练习题
做数学练习是为了更好地理解基本概念，是掌握数学基本知识的需要。由于历年的数学考卷中都是以基础题目为主，日常的数学练习显得尤为重要。我们认为数学练习应以基础练习为主，要多做练习。在此基础上，重视总结归纳解题思路、套路和经验。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。
参考文献：