利用辅助数列求数列的通项公式

（安陆市二中 湖北安陆 432600）

数列中求通项公式的方法很多，有观察分析法，公式法（an=Sn－Sn－1）、构造函数法、利用递推关系式等等。其中利用递推关系求通项公式的题目多种多样，灵活多变。利用递推关系式求通项公式一般有累加法、递归法、阶差法、累乘法、换元法、构造新数列法等等。利用递推公式求数列的通项公式是非常重要的内容。在这里探索一下利用递推关系构造新数列法求通项公式的类型。

当我们不能直接求出数列的通项公式an时，可考虑能否间接的求出an。先设法求出含有an的式子的通项公式，即辅助数列的通项公式，再倒推出an，其中有换元思想。我们求辅助数列，即构造新数列，一般是看每一项的幂的形式或相邻几项的和、差、积、商能否构成等差数列或等比数列（这一点，根据的递推公式的特征来尝试），若能够得到等差或等比数列，则在由此倒推回去，即可求得an、an－1.

一、 构造等差数列求通项

例1 数列an中，a1=3，an－2anan+1－an+1=0，求an.

解：由an－2anan+1－an+1=0得1an+1―1an=2，1an是以13为首项，2为公差的等差数列，1an=13+2（n－1）=6n－53，an=36n－5.

例2 数列an中，a1=－1，an=－

a2n-1+a2(n≥2, an为常数），求an.

解：由an=－

a2n-1+a2(n≥2)可得

a2n-a2n-1=a2（n≥2，an＜0），

{a2n}是以

a21=1为首项，以a2为公差的等差数列,

a2n=1+（n－1）a2=a2n+1-a2,

an＜0,an=-

a2n+1-a2.

二、 构造等比数列求通项

下面归纳一下构造等比数列的几种常见类型

Ⅰ：

an+1=xan+y型

这种类型中，x、y为常数，x≠0,x≠1，a1已知。其构造等比数列的方法有几种。

分析1：用待定系数法构造等比数列

可令an+1+k=x(an+k),展开比较可得k=

yx-1则是以a1+k为首项，x为公比的等比数列。故

an+k可表示出来，从而可推出an.

分析2：运用构造发散，以任意项减去其前一项，构造出等比数列，再运用累加法计算

an+1=xan+y，

an=xan-1+y，两式相减可得

an+1－an=x（an－an-1）

{an+1-an}是以

a2-a1=xa1+y+a1为首项，以x为公比的的等比数列

an+1－an=（xa1+y+a1）xn-1分别令n=1、2、3…n代入上式可得

a2-a1=（xa1+y+a1）x0

a3-a2=（xa1+y+a1）x1

a4-a3=（xa1+y+a1）x2

……

an-an-1=（xa1+y+a1）xn-1上面n―1个式子相加可得an。

比较以上两种方法，很显然分析1较简便一点，故一般用待定系数法构造新数列。

例3 数列{an}中，已知a1=9，且3an+1+an=4，求an.

解：由条件得

an+1=

-13an+

43令

an+1+k=-

13(an+k)展开比较，可得k=-1，

an+1－1=-

13（an－1），{an-1}是以a1－1=8为首项，以-13为公比的等比数列

an－1=8

-13n-1an=1+8

-13n-1

Ⅱ：an+1=xan+f（n）型

这里，这种类型有些可构成等差数列（如例3），有些可构成等比数列。若要构成等比数列，尽量把其化为an+1+kf（n+1）=x（an+kf（n））这种形式，则

{an+kf（n）}是以a1+kf（1）为首项以x为公比的等比数列。故可an+kf（n）求出，从而可推出an.

三、 构造常数列

非零常数列即使等差数列，也是等比数列，是很特殊的数列。有不少递推数列可以构造常数列很轻易地求出通项公式。前面构造等比数列求通项公式的例题我们都可以很轻易构造常数列。因为，如果

{bn}为等比数列，则bn=qbn-1两边同时除以qn则得

比如，上面的例4：推到这一步

an+1－1=-13（an－1），两边同时乘以（-3）n+1得

（an+1－1）（-3）n+1=（an－1）（-3）n，

{（an-1）（-3）n}是常数列，

（an－1）（-3）n=（a1－1）（-3）=-24，an=1-

24（-3）n=1+8

-13n-1

例4 数列{an}中，a1=1，an=an-1+

1n叠加相消可求得an.

方法二：（构造新数列）有条件得an=an-1+

1n是常数列，an+

1n=a1+11=2an=2-1n

总之，利用递推公式构造辅助数列求通项公式非产重要，或根据其特征适当变形或用待定系数法构造出新数列。这里还有许多值得我们去研究，它把数学的类比，转化，整体等思想和方法贯串在一起，充分体现了数学的思想美，轮换美。同样我们再接其它类型的数学题目是，也要领悟良好的数学思想和方法，探索简易的解决途径，通过不断的积累，逐渐内化为自己的经验，形成良好的数学思想方法。