数列·综合应用

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 设[Sn]是公差不为[0]的等差数列[{an}]的前[n]项和，[S1，S2，S4]成等比数列，则[a2a1]等于（ ）

A. [1] B. [2] C. [3] D. [4]

2. 已知数列[1，a1，a2，9]是等差数列，数列[1，b1，b2，b3，9]是等比数列，则[b2a1+a2]的值为（ ）

A. [35] B. [310]

C. [-310] D. [±310]

3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为[2]个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）

A. [6]秒钟 B. [7]秒钟

C. [8]秒钟 D. [9]秒钟

4. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织[5]尺布，现在一月（按30天计），共织[390]尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）

A. [12]尺布 B. [815]尺布

C. [1631]尺布 D. [1629]尺布

5. 购买一件售价为[5000]元的电子产品，用分期付款的办法，每期等额付款，分[6]个月付清，如果月利率为[0.8%]，每月利息按复利计算，则每月应还款（精确到元）（ ）

A. [856]元 B. [865]元

C. [798]元 D. [789]元

6. 在[ABC]中，[tanA]是以[-4]为第3项，[4]为第7项的等差数列的公差，[tanB]是以[13]为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ）

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 非等腰直角三角形

7. 数列[an]满足[a1=a2=1]，[an+an+1+an+2=][cos2nπ3][（n∈N?）]，若数列[an]的前[n]项和为[Sn]，则[S2012]的值为（ ）

A. [-672] B. [-671]

C. [2012] D. [672]

8. 一房产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法确定：先定一个基价[a]元/m2，再根据楼层不同上下浮动，一层的价格为[a-d]元/m2，二层的价格为[a]元/m2，三层的价格为[a+d]元/m2，…，第[i][i≥4]层的价格为[a+（23）i-3d]元/m2，其中[a>0，][d>0]，则该商品房各层的平均价格是（ ）

A. [ad]元/m2

B. [a+1101-（23）18d]元/m2

C. [a+1-（23）17d]元/m2

D. [a+1101-（23）17d]元/m2

9. 如下图，一条螺旋线是用以下方法画成：[ABC]是边长为1的正三角形，曲线[CA1，A1A2，][A2A3]分别以[A，B，C]为圆心，[AC，BA1，CA2]为半径画的弧，曲线[CA1A2A3]称为螺旋线旋转一圈. 然后又以[A]为圆心[AA3]为半径画弧……这样画到第[n]圈，则所得整条螺旋线的长度[ln=]（ ）（用[π]表示即可）

A.[n（3n+1）π] B.[n（3n+2）π]

C.[n（3n+3）π] D.[3n2π]

10. 已知数列[an]是各项均为正数且公比不等于[1]的等比数列（[n∈N*]）. 对于函数[y=f（x）]，若数列[lnf（an）]为等差数列，则称函数[f（x）]为“保比差数列函数”. 现有定义在[（0，+∞）]上的如下函数：①[f（x）=1x]，②[f（x）=x2]，③[f（x）=ex]， ④[f（x）=x]，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）

A. ①② B. ③④

C. ①②④ D. ②③④

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 某产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为 .

12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22…被称为五角形数，其中第1个五角形数记作[a1=1]，第2个五角形数记作[a2=5]，第3个五角形数记作[a3=12]，第4个五角形数记作[a4=22]，若按此规律继续下去，若[an=145]，则[n=] .

1 5 12 22

13. 如图所示，将数以斜线作如下分群：[（1），（2，3），][（4，6，5），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9）]…并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，则第7群中的第2项是 ；第[n]群中[n]个数的和是 .

[1＼&3＼&5＼&7＼&9＼&…＼&2＼&6＼&10＼&14＼&18＼&…＼&4＼&12＼&20＼&28＼&36＼&…＼&8＼&24＼&40＼&56＼&72＼&…＼&16＼&48＼&80＼&112＼&114＼&…＼&…＼&…＼&…＼&…＼&…＼&…＼&]

14. 数列[an]满足[a1=2，]且对任意的[m，n∈N*]，都有[an+mam=an]，则[a3=] ；[an]的前[n]项和[Sn=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15.（12分）已知等比数列[an]满足：[a2-a3=10，a1a2a3=125].

（1）求等比数列[an]的通项公式；

（2）是否存在正整数[m]，使得[1a1+1a2+…+1am≥1]？若存在，求[m]的最小值；若不存在，说明理由.

16. （10分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利[a]元的前提下，可卖出[b]件.若作广告宣传，广告费为[n]千元时比广告费为[（n-1）]千元时多卖出[b2n]件，[n∈N*].

（1）试写出销售量[s]与[n]的函数关系式；

（2）当[a=10，b=4000]时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

17. （12分）我国某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设[f（n）]表示前[n]年的纯收入. [（f（n）=]前[n]年的总收入-前[n]年的总支出-投资额）

（1）从第几年开始获取纯利润？

（2）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？

18. （10分）某林场2012年底森林木材储存量为330万立方米，若树林以每年[25%]的增长率生长，计划从2013年起，每年冬天要砍伐的木材量为[x]万立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量[x]的最大值是多少？（[lg2≈0.3]）