数列复习指导

一、知识要点归纳

1．正确理解数列及等差（等比）数列的有关概念

(1)数列是定义域为正整数集N的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.

(2)数列具有有序性.

（3）等差（等比）数列的定义中有两个要点：一是“从第二项起”，二是“每一项与前一项的差（比）等于同一个常数”，这里的“从第二项起”是为了使每一项与它前面的项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有三项.

2．等差（等比）数列的常用性质及公式

（1）等差（等比）数列的通项及前n项和的公式

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(n∈N*)，前n项和的公式为Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d；等比数列的通项公式是an=a1qn-1=a1q・qn(n∈N*)，前n项和的公式为Sn=a1(1-qn)1-q,q≠1na1,q=1

由等差（等比）数列的通项公式不难看出：数列中涉及到五个基本量有a1，Sn,d(a),n,an,一般可以“知三求二”，通过解方程组求出未知量，问题可迎刃而解.

（2）等差（等比）数列的有关性质

①等差数列的常用性质：公差为d的等差数列，各项同加一个数（或乘以常数k）所得的数列仍是等差数列，其公差为d（或kd）；若公差为d>0，则此数列为递增数列；若公差d

②等比数列的常用性质：在研究等比数列时，要注意an≠0，因为当an=0时，虽有an2=an-1・an+1成立，但{an}不是等比数列；如果m,n为正整数，那么an=amqn-m（q为公比）；一般地，如果m,n,k,l为正整数，且m+n=k+l，则有am・an=ak・al，特别地，当m+n=2k时，am・an=ak2；在等比数列{an}中，每隔k项（k∈N+）取出一项，按照原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；如果{an}、{bn}均为等比数列，且公比分别为q1,q2，那么数列1an，{kan}（k∈R,且k≠0），{anbn},bnan仍是等比数列，且公比分别为1q1,q1,q1q2,q2q1.

3.常用的解题方法技巧

（1）求数列通向公式的方法

①通过观察、分析、比较，根据数列的前若干项写出数列的一个通向公式.

②已知数列的前n项和Sn，求通项an，可以用分段函数

an=S1, n=1Sn-Sn-1,n≥2来表示.

③已知数列的递推关系求通项，可将已知的递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，常常采用累加法、累乘法、迭代法、换元法等转化为等差数列或等比数列的方法求通项.

（2）等差数列的常用判别方法

①定义法.an-an-1=d（常数）{an}是等差数列.

②中项公式法.2an+1=an+an+2（n∈N+）{an}是等差数列.

③{an}是等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数.

④{an}是等差数列{an}的前n项和公式是一个没有常数项的关于n的二次函数.

（3）等比数列的常用判定方法

①定义法.an+1an=q(q≠0且为常数){an}是等比数列.

②中项公式法.a2n+1=an・an+2(an≠0){an}是等比数列.

二、学法指导

要正确理解等差与等比数列的意义，掌握各公式之间的联系和内在规律，掌握基本公式的正用、逆用、变用，还要灵活地回归定义，巧用性质，使其运算更简捷，而对于一般数列则常常首先考虑将其转化为等差或等比数列的问题求解，特别要加强有关递推关系方面的训练.

由于数列具有函数的特征，又能构成独特的递推关系，故使得它与函数、方程、不等式等有着密切的关系，因此，复习时要善于运用函数与方程、化归与转化和分类讨论等思想方法去分析问题，解决问题.