函数渐近线方程和间断点的研究

摘 要： 在函数内容的教学与学习中，函数的性质是用时最多的，常常会忽略掉函数渐近线与间断点的研究.本文章着重从这两个方面进行探索，希望对广大教学工作者或自学者有所帮助.

关键词： 渐近线 间断点 极限

一、渐近线定义：若当x趋向于无穷时，曲线y=f（x）无限接近一条固定直线y=Ax+B（y=f（x）与直线y=Ax+B的垂直距离PN无限小，limPN=0），则称y=Ax+B为函数f（x）的斜渐近线.具体有如下三种可能求法：（1）水平渐近线y=c：■y=c；（2）垂直渐近线x=x■，■y=∞；（3）斜渐近线y=kx+b，■■=k，■f（x）-kx=b.

1.求曲线y=■的水平渐近线方程.

■y=■■=■，y=■

2.求曲线y=■的斜渐近线方程.

解：因为a=■■=■■=1，b=■[f（x）-ax]=■■=■，于是所求斜渐近线方程为y=x+■.

3.求曲线y=■的渐近线方程.

解：因为■■=∞，所以无水平渐近线.因为■■≠∞，所以无垂直渐近线.

而a=■■=■■=2，且b=■（y-2x）=■■=0，即渐近线方程为y=2x.

4.求曲线y=■+ln（1+e■）的渐近线方程.

解：■y=■[■+ln（1+e■）]=+∞，■y=■[■+ln（1+e■）]=0，

所以y=0是曲线的水平渐近线；

■y=■[■+ln（1+e■）]=∞，所以x=0是曲线的垂直渐近线；

■■=■■=0+■■=■■=1，

b=■[y-x]=■[■+ln（1+e■）-x]=0，所以y=x是曲线的斜渐近线.

二、设函数f（x）在点x■的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数f（x）有下列三种情形之一：（1）在x=x■没有定义；（2）虽在x=x■有定义，但■f（x）不存在；（3）虽在x=x■有定义，■f（x）存在，但■f（x）≠f（x■）；则函数f（x）在点x■不连续，而点x■称为函数f（x）的不连续点或间断点.间断点的分类：左右极限都存在则为第一类间断点，左右极限相等的为可去间断点，不相等则为跳跃间断点；不是第一类任何间断点的都是第二类间断点，如无穷间断点和震荡间断点.

1.求函数f（x）=■在[-π，π]上的第一类间断点.

解：函数在x=0，x=1，x=±■均无意义，

而■f（x）=■■=0，■f（x）=■■=-1；

■f（x）=■■=∞，■f（x）=■■=∞.

所以x=0为函数f（x）的第一类间断点.

2.求函数f（x）=■的可去间断点的个数.

解：由f（x）=■，则当x取任何整数时，f（x）均无意义.故f（x）的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x-x■=0的解x■=0，±1.

■■=■■=■

■■=■■=■

■■=■■=■

故可去间断点为3个，即0，±1.

3.求函数f（x）=■■的无穷间断点的个数.

解：由题意得f（x）在x=0，±1均无意义.又f（x）=■・■，■f（x）=f（1）=■，

■f（x）=■■=±1；■f（x）=■（-1）・■=∞.

由无穷间断点的定义可知，其个数为1个，且在x=-1处.

4.设f（x）=■■，则f（x）的间断点为x=？摇？摇 ？摇？摇.

解：显然当x=0时，f（x）=0；当x≠0时，f（x）=■■=■■=■=■，

所以f（x）= 0， x=0■， x≠0，因为■f（x）=■■=∞≠f（0），故x=0为f（x）的间断点.

通过以上8个例题的求解分析，给出了通用的解题思路、清晰的知识体系，明确地勾画了渐近线、间断点的几种常见的试题模型.

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学第4版[M].北京：高等教育出版社，1998：98.

[2]李永乐.经典400题[J].机械工业出版社，2012：32.